非线性发展方程无网格比高精度有限元方法研究
发布时间：2021-02-14 02:28
本论文对于几类非线性的发展型方程（如非线性的抛物方程、非线性的Schr（?）dinger方程、非线性Sobolev方程、非线性Ginzburg–Landau方程、非线性双曲方程）,从协调有限元方法、非协调有限元方法、混合有限元方法等不同角度,利用不同技巧深入系统地研究了其线性化的全离散格式的构造、无网格比约束下的超逼近和超收敛分析以及相应数值实验.主要的创新点具体表现在解决了以下几个问题:（1）超收敛结果对方程解的光滑性要求比较高,但构造时间离散辅助问题（即时间离散方程系统）时,在多边形区域（例如矩形）下,就无法保证其解较强模的有界性.因此我们利用了一些特殊的、不同以往的技巧,在其解空间较弱的条件下得到无网格比超收敛的结论;巧用Taylor展开式对非线性项进行处理,以保证对时间步长的τ阶不丢失.（2）由于选择的全离散格式是线性化的形式,在利用数学归纳法分析第9)层的结果时需要用到第9)-1层的结论,我们用一个统一的系数来控制每一个时间层的结果,这也是其数学归纳法成立的关键所在.（3）构造了非线性双曲方程新的二阶格式,以此得到无网格比超收敛结果.而以往对非线性双曲方程的无网格比研究甚至连...
【文章来源】：郑州大学河南省 211工程院校
【文章页数】：177 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 前言
1.1 研究背景和国内外研究现状
1.2 论文主要研究内容和安排
第二章 预备知识
2.1 Sobolev空间的一些概念、定理及常用的不等式
2.2 有限元方法基本理论
第三章 非线性抛物方程的无网格比超逼近分析
3.1 CN全离散格式下非协调有限元无网格比超逼近分析
3.1.1 单元介绍及CN全离散逼近格式
3.1.2 时间离散格式及时间误差分析
3.1.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
3.1.4 数值实验
3.2 BE全离散格式下协调有限元无网格比超逼近分析
3.2.1 单元介绍及BE全离散逼近格式
3.2.2 时间离散格式及时间误差分析
3.2.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
3.2.4 数值实验
第四章 非线性Schr（?）dinger方程的无网格比超逼近分析
4.1 CN全离散格式下有限元无网格比超逼近分析
4.1.1 CN全离散逼近格式
4.1.2 时间离散格式及时间误差分析
4.1.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
4.1.4 数值试验
4.2 BE全离散格式下有限元无网格比超逼近分析
4.2.1 BE全离散逼近格式
4.2.2 时间离散格式及时间误差分析
4.2.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
4.2.4 数值试验
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析">第五章 两类非线性发展方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析"> 5.1 非线性Sobolev方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
5.1.1 单元构造以及重要引理
5.1.2 CN全离散格式的无网格比超收敛分析
5.1.3 数值试验
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析"> 5.2 非线性Ginzburg–Landau方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
5.2.1 单元介绍及CN逼近格式
5.2.2 时间离散格式及时间误差分析
5.2.3 空间误差分析
5.2.4 无网格比超逼近结果
5.2.5 数值试验
第六章 非线性双曲方程的无网格比超逼近分析
6.1 非协调有限元二阶全离散格式的构造
6.2 时间离散格式及时间误差分析
6.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
6.4 数值试验
第七章 总结与展望
参考文献
个人简历和在校期间的科研成果及获得的奖项
致谢
【参考文献】：
期刊论文
[1]半线性伪双曲方程最低阶的H1-Galerkin混合元方法[J]. 石东洋,史艳华. 系统科学与数学. 2015(05)
[2]sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径[J]. 石东洋,王芬玲,樊明智,赵艳敏. 计算数学. 2015(02)
[3]Highly efficient H1-Galerkin mixed finite element method （MFEM） for parabolic integro-differential equation[J]. 石东洋,廖歆,唐启立. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2014(07)
[4]Superconvergence Analysis of Splitting Positive Definite Nonconforming Mixed Finite Element Method for Pseudo-hyperbolic Equations[J]. Dong-yang SHI,Qi-li TANG. Acta Mathematicae Applicatae Sinica（English Series）. 2013(04)
[5]四阶椭圆问题的C0非协调元[J]. 陈红如,陈绍春. 计算数学. 2013(01)
[6]Superconvergence analysis of the finite element method for nonlinear hyperbolic equations with nonlinear boundary condition[J]. SHI Dong-yang1 LI Zhi-yan1,21 Department of Mathematics,Zhengzhou Univercity,Zhengzhou 450052,China 2 Department of Mathematics,Handan College,Handan 056005,China. Applied Mathematics:A Journal of Chinese Universities（Series B）. 2008(04)
[7]Interpolation theory of anisotropic finite elements and applications[J]. CHEN ShaoChun&XIAO LiuChao Department of Mathematics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450052,China. Science in China（Series A:Mathematics）. 2008(08)
[8]Stokes问题非协调混合有限元超收敛分析[J]. 石东洋,王彩霞. 应用数学学报. 2007(06)
[9]定常的磁流体动力学问题的Galerkin-Petrov最小二乘混合元方法[J]. 罗振东,毛允魁,朱江,郭兴明. 应用数学和力学. 2007(03)
[10]带约束非协调旋转Q1元在Stokes和平面弹性问题的应用[J]. 胡俊,满红英,石钟慈. 计算数学. 2005(03)
本文编号：3032970
【文章来源】：郑州大学河南省 211工程院校
【文章页数】：177 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
Abstract
第一章 前言
1.1 研究背景和国内外研究现状
1.2 论文主要研究内容和安排
第二章 预备知识
2.1 Sobolev空间的一些概念、定理及常用的不等式
2.2 有限元方法基本理论
第三章 非线性抛物方程的无网格比超逼近分析
3.1 CN全离散格式下非协调有限元无网格比超逼近分析
3.1.1 单元介绍及CN全离散逼近格式
3.1.2 时间离散格式及时间误差分析
3.1.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
3.1.4 数值实验
3.2 BE全离散格式下协调有限元无网格比超逼近分析
3.2.1 单元介绍及BE全离散逼近格式
3.2.2 时间离散格式及时间误差分析
3.2.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
3.2.4 数值实验
第四章 非线性Schr（?）dinger方程的无网格比超逼近分析
4.1 CN全离散格式下有限元无网格比超逼近分析
4.1.1 CN全离散逼近格式
4.1.2 时间离散格式及时间误差分析
4.1.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
4.1.4 数值试验
4.2 BE全离散格式下有限元无网格比超逼近分析
4.2.1 BE全离散逼近格式
4.2.2 时间离散格式及时间误差分析
4.2.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
4.2.4 数值试验
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析">第五章 两类非线性发展方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析"> 5.1 非线性Sobolev方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
5.1.1 单元构造以及重要引理
5.1.2 CN全离散格式的无网格比超收敛分析
5.1.3 数值试验
1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析"> 5.2 非线性Ginzburg–Landau方程H1-Galerkin有限元方法无网格比超逼近分析
5.2.1 单元介绍及CN逼近格式
5.2.2 时间离散格式及时间误差分析
5.2.3 空间误差分析
5.2.4 无网格比超逼近结果
5.2.5 数值试验
第六章 非线性双曲方程的无网格比超逼近分析
6.1 非协调有限元二阶全离散格式的构造
6.2 时间离散格式及时间误差分析
6.3 空间误差分析及无网格比超逼近结果
6.4 数值试验
第七章 总结与展望
参考文献
个人简历和在校期间的科研成果及获得的奖项
致谢
【参考文献】：
期刊论文
[1]半线性伪双曲方程最低阶的H1-Galerkin混合元方法[J]. 石东洋,史艳华. 系统科学与数学. 2015(05)
[2]sine-Gordon方程的最低阶各向异性混合元高精度分析新途径[J]. 石东洋,王芬玲,樊明智,赵艳敏. 计算数学. 2015(02)
[3]Highly efficient H1-Galerkin mixed finite element method （MFEM） for parabolic integro-differential equation[J]. 石东洋,廖歆,唐启立. Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2014(07)
[4]Superconvergence Analysis of Splitting Positive Definite Nonconforming Mixed Finite Element Method for Pseudo-hyperbolic Equations[J]. Dong-yang SHI,Qi-li TANG. Acta Mathematicae Applicatae Sinica（English Series）. 2013(04)
[5]四阶椭圆问题的C0非协调元[J]. 陈红如,陈绍春. 计算数学. 2013(01)
[6]Superconvergence analysis of the finite element method for nonlinear hyperbolic equations with nonlinear boundary condition[J]. SHI Dong-yang1 LI Zhi-yan1,21 Department of Mathematics,Zhengzhou Univercity,Zhengzhou 450052,China 2 Department of Mathematics,Handan College,Handan 056005,China. Applied Mathematics:A Journal of Chinese Universities（Series B）. 2008(04)
[7]Interpolation theory of anisotropic finite elements and applications[J]. CHEN ShaoChun&XIAO LiuChao Department of Mathematics,Zhengzhou University,Zhengzhou 450052,China. Science in China（Series A:Mathematics）. 2008(08)
[8]Stokes问题非协调混合有限元超收敛分析[J]. 石东洋,王彩霞. 应用数学学报. 2007(06)
[9]定常的磁流体动力学问题的Galerkin-Petrov最小二乘混合元方法[J]. 罗振东,毛允魁,朱江,郭兴明. 应用数学和力学. 2007(03)
[10]带约束非协调旋转Q1元在Stokes和平面弹性问题的应用[J]. 胡俊,满红英,石钟慈. 计算数学. 2005(03)
本文编号：3032970
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