流形及其相关领域历史的若干研究

发布时间：2021-04-27 04:27

　　流形概念起源于德国数学家黎曼1854年关于几何基础的演讲,其中他将流形理论分为几何与拓扑两个部分.其后数学家分别沿几何、拓扑等方向对流形展开研究,得到了不少结果.然而流形的严格定义一直没有得到,制约着这门学科的进一步发展.直到1913年外尔《黎曼面的概念》出版,才首次给出了二维流形的公理化定义,从此流形理论进入新的发展时期.到20世纪中叶,流形成为微分几何、微分拓扑、大范围分析、微分动力系统与叶状结构等学科的基础.这些学科属于结构数学范畴,在近现代数学的发展过程中处于主流的位置.可以说流形是20世纪数学有代表性的概念和理论,它已成为现代数学最重要的思想之一,在数学乃至理论物理中占有越来越重要的地位.本文在掌握原始文献的基础上,辅以相关的历史研究文献,以时间为轴线,以重要数学家的工作为节点,梳理并总结了流形的历史渊源与理论框架;探索了以黎曼、克莱因与庞加莱等为代表的早期数学家对流形的不同认识,考察了以外尔、维布伦与惠特尼等为代表的后期数学家对流形的贡献.本文的主要内容如下:1.梳理并总结了流形从19世纪50年代到20世纪30年代发展的整体框架.2.从几何学、分析学和物理学三个方面,以流形... 

【文章来源】：河北师范大学河北省

【文章页数】：180 页

【学位级别】：博士

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摘要
Abstract
引言
第一章 流形的历史渊源与理论框架
    1.1 流形概念的起源
        1.1.1 坐标几何——从低维到高维
        1.1.2 曲线、曲面的微分几何——从平直到弯曲
    1.2 流形概念的产生
        1.2.1 几何学中的流形概念
        1.2.2 分析学中的流形概念
        1.2.3 物理学中的流形概念
    1.3 流形思想的传播
        1.3.1 流形的几何理论
        1.3.2 闭曲面的分类
        1.3.3 流形的拓扑理论
    1.4 流形概念的形式化
        1.4.1 流形定义的公理化
        1.4.2 组合同调与对偶定理对流形的限制
        1.4.3 进一步发展
第二章 黎曼1854年演讲中的流形概念
    2.1 黎曼的空间观念
        2.1.1 离散流形与连续流形
        2.1.2 连续流形的几何与拓扑
    2.2 n重延伸流形的两个特征
        2.2.1 第一个特征——局部同胚于欧氏空间 （拓扑流形）
        2.2.2 第二个特征——由切向量定义线元 （可微流形）
    2.3 常曲率流形
        2.3.1 黎曼的断言
        2.3.2 黎曼曲率
        2.3.3 常曲率流形
    2.4 黎曼演讲的影响
        2.4.1 贝尔特拉米——通向高维非欧几何
        2.4.2 赫姆霍兹——以变换为基础的几何学
第三章 克莱因对流形的认识
    3.1 学术背景对克莱因流形认识的影响
        3.1.1 别样的求学经历
        3.1.2 克利福德的影响
        3.1.3 鲜为人知的普里姆
    3.2 《埃尔朗根纲领》对流形的论述
        3.2.1 纲领的本质
        3.2.2 克莱因流形与空间的关系
        3.2.3 流形的作用
    3.3 《代数函数及其积分》的主要内容
        3.3.1 黎曼的博士论文及其应用
        3.3.2 《代数函数及其积分》的主要内容
第四章 《位置分析》中的流形定义
    4.1 第一个流形定义
    4.2 第二个流形定义
        4.2.1 第二个流形定义
        4.2.2 两个定义之间的关系
        4.2.3 同调与贝蒂数
        4.2.4 流形的定向
    4.3 几何表示与不连续群表示
        4.3.1 几何表示——正方体流形
        4.3.2 不连续群表示
        4.3.3 其他表示
    4.4 补篇中的流形
        4.4.1 希嘉德小传
        4.4.2 补篇中的流形定义
        4.4.3 早期的拓扑学
    4.5 小结
第五章 《黎曼面的概念》中的流形
    5.1 《黎曼面的概念》介绍
        5.1.1 背景、内容介绍与影响
        5.1.2 本书的特色
    5.2 外尔引入流形与黎曼面的路线
        5.2.1 克莱因对黎曼面的贡献
        5.2.2 希尔伯特的平面定义
        5.2.3 希尔伯特问题的激发
    5.3 外尔的流形定义
        5.3.1 从解析构形到二维流形
        5.3.2 外尔的曲面定义
        5.3.3 黎曼面的概念
    5.4 小结
第六章 微分流形概念的澄清
    6.1 现代微分流形概念的引入
        6.1.1 美国数学界早期卓越的领导者——维布伦
        6.1.2 “正则流形”的基本思想
        6.1.3 三组公理
        6.1.4 《微分几何的基础》
    6.2 惠特尼与嵌入定理
        6.2.1 惠特尼：微分拓扑的奠基人
        6.2.2 欧氏空间中的微分流形
        6.2.3 微分流形
    6.3 小结
第七章 流形中译名的问世
    7.1 江泽涵与拓扑名词的审定
    7.2 江泽涵与中国拓扑学的发展
第八章 结论
参考文献
附录
致谢
攻读学位期间的科研成果


【参考文献】：
期刊论文
[1]惠特尼1934～1936年微分流形工作的历史分析[J]. 邓明立,王涛.  自然科学史研究. 2012(02)
[2]惠特尼对图论的贡献[J]. 王献芬.  自然科学史研究. 2010(01)
[3]黎曼的几何思想及其对相对论的影响[J]. 阎晨光,邓明立.  科学技术与辩证法. 2009(03)
[4]近代科学名词术语审定统一中的合作、冲突与科学发展[J]. 张剑.  史林. 2007(02)
[5]黎曼的几何思想萌芽[J]. 邓明立,阎晨光.  自然科学史研究. 2006(01)
[6]江泽涵教授的光辉业绩[J]. 姜伯驹.  群言. 1991(08)
[7]我国数学名词的早期工作[J]. 江泽涵.  数学通报. 1980(12)

博士论文
[1]点集拓扑学的创立[D]. 王昌.西北大学 2012
[2]拓扑学在中国（1931-1949）[D]. 陈克胜.内蒙古师范大学 2012

硕士论文
[1]Max Dehn对组合群论的贡献[D]. 王艳.河北师范大学 2013



本文编号：3162766