Boussinesq型方程整体适定性及正则性的探究

发布时间：2021-06-01 01:05

　　Boussinesq方程是描述大气或海洋中的流体在重力以及地球旋转的作用下的演变过程。最显著的特点是在流动中会产生旋转与分层效应。在本文中,我们主要研究两类特殊的Boussinesq方程:二维Regularized-Boussinesq方程以及三维轴对称Boussinesq方程。首先对于二维临界Regularized-Boussinesq方程来说,即（α +β=1-γ）,当γ>0时,我们可以看做是一个超临界问题。特别地,当（α,β）=（1-γ,0）以及初值只有较低的正则性时,我们证明了方程整体解的存在唯一性结果。这里我们需要克服没有ρ的一阶导数估计的困难。为此我们引入变量G = ε-Rαρ,从而避免了直接处理（?）1ρ这一项的困难。然后通过对‖G‖L∞（0,T;L2∩Lm）,‖G‖L1（0,T;B∞,1-γ）以及‖Rαρ‖L∞（0,T;L2∩L∞）的估计,我们得到‖▽v‖L1（0,T;L∞）的上界估计。对于一般情形（α,β>0,α + β = 1-γ）,我们也证明了方程整体解的存在唯一性结果。这里我们遇到的困难仍然是没有ρ的一阶导数估计以及耗散项∧βρ的存在。为此我们仍然引... 

【文章来源】：浙江大学浙江省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校

【文章页数】：139 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 引言及现有的一些结果
    1.2 本文的主要结果以及难点
        1.2.1 临界情形
        1.2.2 次临界情形
        1.2.3 轴对称情形
2 准备工作
    2.1 一些重要不等式和引理
    2.2 Littlewood-Paley分解理论
    2.3 齐次和非齐次Besov空间
    2.4 Chemin-Lerner型空间
    2.5 传输耗散方程的基本估计
    2.6 一些基本交换子的估计
3 临界情况下的二维分数次Regularized-Boussinesq方程的整体适定性问题
    3.1 主要结果
    3.2 预备知识
    3.3 定理3.1.2的证明
        3.3.1 ‖G‖_(L~2)估计
        3.3.2 ‖G‖_(L~m)估计
        3.3.3 ‖G‖_(L_T~1B_(∞,1)~(-γ))的估计
        3.3.4 ‖▽v‖_(L~1([0,T;L~∞))的估计
        3.3.5 能量估计以及w的L~p估计
        3.3.6 连续性的证明
        3.3.7 定理3.1.2的证明
    3.4 定理3.1.3的证明
        3.4.1 ‖G‖_(L~2)的估计
        3.4.2 ‖G‖_(L~m)的估计
        3.4.3 ‖G‖_(L~∞(0,T;B_(T,∞)~S))的估计
        3.4.4 先验估计的总和
    3.5 定理3.1.4的证明
        3.5.1 定理3.1.4(1)的证明
        3.5.2 定理3.1.4(2)的证明
        3.5.3 定理3.1.4(3)的证明
4 次临界情况下的二维分数次Regularized-Boussinesq方程的整体适定性问题
    4.1 主要定理
    4.2 预备知识
    4.3 定理4.1.1的证明
    4.4 定理4.1.2的证明
5 三维轴对称Boussinesq型方程的整体适定性问题及相应的爆破准则
    5.1 主要定理
    5.2 预备知识
    5.3 定理5.1.2的证明
    5.4 定理5.1.4的证明
0且ρ_0∈L~2(R~3)∩B_(3,1)~0(R~3)时">        5.4.1 当k>0且ρ_0∈L~2(R~3)∩B_(3,1)~0(R~3)时
        5.4.2 当k=0以及ρ_0∈H~1(R~3)时
    5.5 定理5.1.6的证明
参考文献
简历以及学术论文
致谢



本文编号：3209344