几类偏微分方程数值解的基于POD方法的降维高阶紧差分算法研究

发布时间：2021-06-25 11:28

　　本文主要研究了抛物型方程和Fisher-Kolmogorov方程的几种高阶紧差分算法。在大型工程问题计算中,高阶紧差分方法会产生数以千万的未知量,从而占用大量的计算时间。为了克服这一不足,本文采用Proper Orthogonal Decomposition（简记为POD）来对高阶紧差分格式进行降维优化和改进。这种基于POD方法的降维高阶紧差分方法不仅具有计算所需节点少、与谱方法相近的高分辨率和边界易处理等等一系列优点,而且还能极大的缩短计算时间,降低计算内存要求、减少CPU运行负担。数值算例说明数值计算结果与理论结果是吻合的,并且降维方法在保证精度的同时极大地节省了计算时间。这说明这种降维方法是有效的和可行的。全文分为五章,主要的内容如下:第一章,我们首先对偏微分方程作了简单的概述,并且简单的介绍了有限差分法的几种形式以及POD方法的背景知识和应用。第二章主要研究了抛物型方程的降维四阶紧差分格式。首先基于泰勒公式,我们给出了一维和二维抛物型方程的四阶紧差分格式详细推导步骤。然后,通过引入POD方法,我们得到了降维的紧差分格式和两种格式之间误差的估计公式,最后通过几组数值算例说明我们方... 

【文章来源】：三峡大学湖北省

【文章页数】：82 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
内容摘要
abstract
引言
1 绪论
    1.1 选题背景及研究目的和意义
    1.2 有限差分方法
    1.3 基于POD方法的降维模型的发展概况
    1.4 算子分裂法的研究进展
2 抛物型方程的降维四阶紧差分格式
    2.1 引言
    2.2 抛物型方程四阶紧差分格式以及快照的生成
    2.3 抛物型方程降维四阶紧差分格式
    2.4 抛物型方程降维四阶紧差分格式的误差估计
    2.5 数值算例
    2.6 本章小结
3 抛物型方程的降维六阶紧差分格式
    3.1 引言
    3.2 抛物型方程六阶紧差分格式
    3.3 抛物型方程降维六阶紧差分格式
    3.4 多维抛物型方程
    3.5 数值算例
    3.6 本章小结
4 Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式
    4.1 引言
    4.2 Fisher-Kolmogorov方程的一维六阶紧差分格式
    4.3 Fisher-Kolmogorov方程的二维六阶紧差分格式
    4.4 二维Fisher-Kolmogorov方程的降维六阶紧差分格式
    4.5 数值算例
    4.6 本章小结
5 总结与展望
    5.1 总结
    5.2 展望
参考文献
后记
附录：攻读硕士学位期间发表的部分学术论著


【参考文献】：
期刊论文
[1]Reduced finite difference scheme and error estimates based on POD method for non-stationary Stokes equation[J]. 罗振东,欧秋兰,谢正辉.  Applied Mathematics and Mechanics（English Edition）. 2011(07)



本文编号：3249132