抛物型方程的并行有限差分方法
发布时间：2021-07-07 15:24
抛物型偏微分方程,简称抛物型方程是一类重要的偏微分方程,在自然科学诸多领域,许多现象都是利用抛物型方程（方程组）描述的,例如粒子和能量的扩散,物化反应,种群迁徙,物质相互作用等等,而且抛物型方程在工程领域也有着广泛的应用。目前对于抛物型方程发展了许多行之有效的数值方法,其中有限差分方法是最早为科技工作者运用且理论较为完善的方法,它已成为求解抛物型方程的一种重要方法。随着大型计算机（并行机）发展,传统的有限差分方法求解抛物型方程暴露出许多不足之处,例如显式格式计算步长受到严格的限制,隐式格式需要求解联立方程组,不便于直接在并行机上应用。因此构造具有并行性,良好的稳定性和计算精度的新型有限差分方法是本文主要研究工作。本文研究内容可以分为五个部分。第一章主要介绍本文的研究背景、研究现状和文章的撰写结构安排。第二章主要构造了求解热传导方程的并行有限差分方法,新的并行算法由两个区域分解算法组成,当第n时间层解已知,利用两区域分解算法分别计算第（n+1）时间层数值解,然后对所得到的两个数值解进行求平均值,令这个平均值为第（n+1）时间层数值解。相比传统的并行算法,新算法在保证并行本性和稳定性的同时...
【文章来源】：武汉大学湖北省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：89 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．２：?ｉ?＝?０．４时刻精确解和数值解比较??
?ｙ，ｔ）?＝?ｅｔｓｉｎ（－Ｋｘ）ｓｉｎ（７ｒｙ）．?（３．４２）??图３．１记录了?Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４，?Ｃ－Ｎ格式和文献［６０］中高阶ＡＤＩ算法在网格比ｒ?＝?１．２时间为??ｔ?＝?０．５时，在取不同空间内点数的ＣＰＵ计算时间。结果表明，Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４具有良好的并行效??率。图３．２给出了例３．１．２在ｔ?＝?０．４时刻下的精确解以及针对网格比ｒ＊?＝?１分别取不同空间步长??／Ｉ，在ｔ?＝?０．４时刻下的数值解，我们可以看出Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４求解例３．１．２得到的数值解是令人满??意的。表３．８给出了在扩散系数与对流系数取ａ?＝?６?＝?１、空间步长ｈ?＝?１／２５时Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４和??Ｚｈｕ?［３５］两算法的范数误差比较
?７２??Ｎｕｍｂｅｒ?ｏｆ?ｓｐａｃｅ?ｇｒｉｄ?ｉｎｔｅｒｉｏｒ?ｐｏｉｎｔｓ??图３．１：三种算法的ＣＴ＞／７计算时间??考虑二维对流占有扩散问题如下：??例?３．１．２??—－Ｖ?？?（ａＶｕ）?＋?Ｖ?？?（ｂｕ）?＝?ｆ（ｘ，?ｙ，?ｔ），?（ｘ，?ｙ）?ｅ?ｎ，?ｔ?ｅ?（０，１］，??ｕ［ｘ，?ｙ，?Ｑ）?＝?ｓｉｎ［ｎｘ）ｓｉｎ〔７ｒｙ），?（ｘ，?ｙ）?６?ｆｌ，??＇?（３．４１）??ｕ（０，?ｙ，?ｔ）?＝?ｕ（ｌ，?ｙ，ｔ）＝０，?ｙｅ?［０，１］，?ｆ?Ｇ?（０，１］，??ｕ（ｘ，ｏ，?ｔ）?＝?ｕ（ｘ，?ｌ，?ｔ）?＝?０，?ｘ?ｅ?［ｏ，?ｉ］，?ｔ?ｅ?（ｏ；?ｌ］，??其中求解区域ｎ?＝?Ｋ〇，?：〇丨２，并且右端项为??ｆ（ｘ，ｔ）?－?ｅ１?＼２ａ－Ｋ２ｓｉｎ｛ｉ：ｘ）ｓｉｎ｛－Ｋｙ）?＋?ｂ－ＫＣ〇ｓ｛－ｎｘ）ｓｉｎ（ｎｙ）?＋?ｂ－ｉｒｓｉｎ｛＇Ｋｘ）ｃｏｓ｛／Ｋｙ）?＋?ｓｉｎ（ｉｒｘ）ｓｉｎ（Ｔｒｙ）］．??算例３．１．２的精确解为??ｕ（ｘ，?ｙ，ｔ）?＝?ｅｔｓｉｎ（－Ｋｘ）ｓｉｎ（７ｒｙ）．?（３．４２）??图３．１记录了?Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４
【参考文献】：
期刊论文
[1]An Explicit-Implicit Predictor-Corrector Domain Decomposition Method for Time Dependent Multi-Dimensional Convection Diffusion Equations[J]. Liyong Zhu~(1,2),Guangwei Yuan~1 and Qiang Du~(3,*) 1 Laboratory of Computational Physics,Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing,China. 2 Division of Mathematical Sciences,School of Physical and Mathematical Sciences,Nanyang Technological University,Singapore,637371. 3 Department of Mathematics,Pennsylvania State University,University Park, PA 16802,USA.. Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications. 2009(03)
[2]求解Burgers方程的一种交替分段隐式算法[J]. 王廷春,张鲁明. 计算物理. 2005(02)
[3]Burgers方程的交替分组显式迭代方法[J]. 金承日,刘家琦. 计算物理. 1998(05)
[4]求解对流-扩散方程的交替分段显-隐式方法[J]. 陆金甫,张宝琳,徐涛. 数值计算与计算机应用. 1998(03)
[5]非线性抛物组具并行本性的某些实用差分格式[J]. 周毓麟,沈隆钧,袁光伟. 数值计算与计算机应用. 1997(01)
[6]非线性抛物组具并行本性的一般差分格式[J]. 周毓麟,袁光伟. 中国科学（A辑 数学 物理学 天文学 技术科学）. 1997(02)
[7]带非线性边界条件的热传导方程的整体解与爆破问题[J]. 王术,王新明. 应用数学. 1997(01)
[8]抛物型方程有限差分并行解法[J]. 张宝琳,陈劲. 数值计算与计算机应用. 1995(03)
[9]抛物型方程的交替分段Crank—Nicholson格式[J]. 张宝琳,苏秀敏. 计算物理. 1995(01)
[10]求解扩散方程的交替分段显-隐式方法[J]. 张宝琳. 数值计算与计算机应用. 1991(04)
本文编号：3269879
【文章来源】：武汉大学湖北省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：89 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２．２：?ｉ?＝?０．４时刻精确解和数值解比较??
?ｙ，ｔ）?＝?ｅｔｓｉｎ（－Ｋｘ）ｓｉｎ（７ｒｙ）．?（３．４２）??图３．１记录了?Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４，?Ｃ－Ｎ格式和文献［６０］中高阶ＡＤＩ算法在网格比ｒ?＝?１．２时间为??ｔ?＝?０．５时，在取不同空间内点数的ＣＰＵ计算时间。结果表明，Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４具有良好的并行效??率。图３．２给出了例３．１．２在ｔ?＝?０．４时刻下的精确解以及针对网格比ｒ＊?＝?１分别取不同空间步长??／Ｉ，在ｔ?＝?０．４时刻下的数值解，我们可以看出Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４求解例３．１．２得到的数值解是令人满??意的。表３．８给出了在扩散系数与对流系数取ａ?＝?６?＝?１、空间步长ｈ?＝?１／２５时Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４和??Ｚｈｕ?［３５］两算法的范数误差比较
?７２??Ｎｕｍｂｅｒ?ｏｆ?ｓｐａｃｅ?ｇｒｉｄ?ｉｎｔｅｒｉｏｒ?ｐｏｉｎｔｓ??图３．１：三种算法的ＣＴ＞／７计算时间??考虑二维对流占有扩散问题如下：??例?３．１．２??—－Ｖ?？?（ａＶｕ）?＋?Ｖ?？?（ｂｕ）?＝?ｆ（ｘ，?ｙ，?ｔ），?（ｘ，?ｙ）?ｅ?ｎ，?ｔ?ｅ?（０，１］，??ｕ［ｘ，?ｙ，?Ｑ）?＝?ｓｉｎ［ｎｘ）ｓｉｎ〔７ｒｙ），?（ｘ，?ｙ）?６?ｆｌ，??＇?（３．４１）??ｕ（０，?ｙ，?ｔ）?＝?ｕ（ｌ，?ｙ，ｔ）＝０，?ｙｅ?［０，１］，?ｆ?Ｇ?（０，１］，??ｕ（ｘ，ｏ，?ｔ）?＝?ｕ（ｘ，?ｌ，?ｔ）?＝?０，?ｘ?ｅ?［ｏ，?ｉ］，?ｔ?ｅ?（ｏ；?ｌ］，??其中求解区域ｎ?＝?Ｋ〇，?：〇丨２，并且右端项为??ｆ（ｘ，ｔ）?－?ｅ１?＼２ａ－Ｋ２ｓｉｎ｛ｉ：ｘ）ｓｉｎ｛－Ｋｙ）?＋?ｂ－ＫＣ〇ｓ｛－ｎｘ）ｓｉｎ（ｎｙ）?＋?ｂ－ｉｒｓｉｎ｛＇Ｋｘ）ｃｏｓ｛／Ｋｙ）?＋?ｓｉｎ（ｉｒｘ）ｓｉｎ（Ｔｒｙ）］．??算例３．１．２的精确解为??ｕ（ｘ，?ｙ，ｔ）?＝?ｅｔｓｉｎ（－Ｋｘ）ｓｉｎ（７ｒｙ）．?（３．４２）??图３．１记录了?Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ?４
【参考文献】：
期刊论文
[1]An Explicit-Implicit Predictor-Corrector Domain Decomposition Method for Time Dependent Multi-Dimensional Convection Diffusion Equations[J]. Liyong Zhu~(1,2),Guangwei Yuan~1 and Qiang Du~(3,*) 1 Laboratory of Computational Physics,Institute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing,China. 2 Division of Mathematical Sciences,School of Physical and Mathematical Sciences,Nanyang Technological University,Singapore,637371. 3 Department of Mathematics,Pennsylvania State University,University Park, PA 16802,USA.. Numerical Mathematics:Theory,Methods and Applications. 2009(03)
[2]求解Burgers方程的一种交替分段隐式算法[J]. 王廷春,张鲁明. 计算物理. 2005(02)
[3]Burgers方程的交替分组显式迭代方法[J]. 金承日,刘家琦. 计算物理. 1998(05)
[4]求解对流-扩散方程的交替分段显-隐式方法[J]. 陆金甫,张宝琳,徐涛. 数值计算与计算机应用. 1998(03)
[5]非线性抛物组具并行本性的某些实用差分格式[J]. 周毓麟,沈隆钧,袁光伟. 数值计算与计算机应用. 1997(01)
[6]非线性抛物组具并行本性的一般差分格式[J]. 周毓麟,袁光伟. 中国科学（A辑 数学 物理学 天文学 技术科学）. 1997(02)
[7]带非线性边界条件的热传导方程的整体解与爆破问题[J]. 王术,王新明. 应用数学. 1997(01)
[8]抛物型方程有限差分并行解法[J]. 张宝琳,陈劲. 数值计算与计算机应用. 1995(03)
[9]抛物型方程的交替分段Crank—Nicholson格式[J]. 张宝琳,苏秀敏. 计算物理. 1995(01)
[10]求解扩散方程的交替分段显-隐式方法[J]. 张宝琳. 数值计算与计算机应用. 1991(04)
本文编号：3269879
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