空间分数阶Schr?dinger方程调制不稳定性的数值研究
发布时间：2021-07-10 18:55
最近有学者研究了整数阶不同形式Schr?dinger方程的调制不稳定性,研究发现对于同一个Schr?dinger方程在不同初值条件下其调制不稳定性表现出相同的行为.本文主要研究三种不同类型的空间分数阶Schr?dinger方程在不同的初值条件下是否仍表现出这种相似的调制不稳定性行为.并且研究了其调制不稳定性在不同参数条件下的变化情况.调制不稳定性在很多领域都都得到了深入研究,特别是在数学和物理等领域中研究十分广泛.本文主要研究三种不同的空间分数阶Schr?dinger方程的调制不稳定性,主要使用谱方法对这三类空间分数阶Schr?dinger方程进行数值模拟,并且通过Benjamin-Feir-Lighthill准则验证了这些方程出现调制不稳定性条件,也深入研究了这些方程的振荡边界.文中进一步研究了不同初值条件下以及不同的分数阶Laplace算子的指标对方程调制不稳定性的影响.并且使用了分裂谱方法以及差分格式的谱方法对三个方程进行了数值模拟,分别研究了三种不同的空间分数阶Schr?dinger方程的调制不稳定性,并且研究了这些方程振荡区域,振幅以及振荡边界受不同参数的影响.具体可以得到,...
【文章来源】：西北大学陕西省 211工程院校
【文章页数】：58 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
初值(1.12a),(1.12b),(1.12c)
西北大学硕士学位论文在方程(2.4)作傅里叶变换和傅里叶逆变换可将等式中的分数阶Laplace算子化简为可计算的方程,然后可将该方程关于这两个指数函数合并同类项并根据系数解方程,可以得到以下的方程组并分离()和()的系数可得方程组11||+21+22=0,22||+22+21=0.(2.7)将上述方程组整理可得频率的表达式2=24||.(2.8)该等式可以帮助我们判定常规空间分数阶Schr¨odinger方程(1.9)是否存在调制不稳定性,如果存在可以根据该等式求出振荡区域以及振荡边界.图2.1:当分别取2,1.5,1.02时随的变化图像.根据Benjamin-Feir-Lighthill准则,如果是任意实数,方程(1.9)的状态解(,)中的指数函数的指数全部为虚数,此时方程的解是趋于稳定的.如果不是任意实数,该方程的状态解(,)中的指数函数的指数存在实数,此时方程的解可能呈指数型增长,此时是是不稳定的,因此会出现调制不稳定性.从该等式可以看出,当>0时,会出现复数的情况,这时就会出现调制不稳定现象.并且振荡频率会受到分数阶Laplace算子的指标的影响,那么整体的振荡结果也会随着的变化而变化.由图2.1可知,(2.8)式中关于,的关系式横轴为,纵轴为,随着的变小,在的一个周期内的取值变小,从而可知随着分数阶拉普拉斯算11
西北大学硕士学位论文Fd表示离散的傅里叶变换,F1d表示离散的傅里叶逆变换,是线性分数阶方程(2.9)数值解,非线性方程(2.10)的数值解.S2.4数值结果通过以上的数值方法,令T=200,空间=[100,100],时间=[0,10],空间节点数=1001,时间节点数=1001.即我们将空间和时间进行离散且取空间步长为Δ=0.2,时间步长Δ=0.01.得出了常规空间分数阶Schr¨odinger方程(1.9)在初值(1.12a),(1.12b),(1.12c)分别取Laplace算子的指标=2,1.6,1.2时的数值结果,并且模拟了在时刻=10时的切面图.为了便于比较,文中取空间=[50,50],时间=[0,10]的数值结果.图2.2:|U|在初值(1.12a),=2,1.6,1.2的俯视图.图2.3:初值(1.12a),=2,1.6,1.2,在t=10的切面图.图2.2是常规空间分数阶Schr¨odinger方程(1.9)分别取=2,1.6,1.2时的数值结果,为了方便比较我们这里使用的是该数值结果的俯视图,其中绿色部分为|(,)|=1,蓝色部分为0<|(,)|<1,黄色部位为|(,)|>1.图2.3是常规空间分数阶Schr¨odinger方程(1.9)的数值结果在=10时刻的切面图,分别15
本文编号：3276476
【文章来源】：西北大学陕西省 211工程院校
【文章页数】：58 页
【学位级别】：硕士
【部分图文】：
初值(1.12a),(1.12b),(1.12c)
西北大学硕士学位论文在方程(2.4)作傅里叶变换和傅里叶逆变换可将等式中的分数阶Laplace算子化简为可计算的方程,然后可将该方程关于这两个指数函数合并同类项并根据系数解方程,可以得到以下的方程组并分离()和()的系数可得方程组11||+21+22=0,22||+22+21=0.(2.7)将上述方程组整理可得频率的表达式2=24||.(2.8)该等式可以帮助我们判定常规空间分数阶Schr¨odinger方程(1.9)是否存在调制不稳定性,如果存在可以根据该等式求出振荡区域以及振荡边界.图2.1:当分别取2,1.5,1.02时随的变化图像.根据Benjamin-Feir-Lighthill准则,如果是任意实数,方程(1.9)的状态解(,)中的指数函数的指数全部为虚数,此时方程的解是趋于稳定的.如果不是任意实数,该方程的状态解(,)中的指数函数的指数存在实数,此时方程的解可能呈指数型增长,此时是是不稳定的,因此会出现调制不稳定性.从该等式可以看出,当>0时,会出现复数的情况,这时就会出现调制不稳定现象.并且振荡频率会受到分数阶Laplace算子的指标的影响,那么整体的振荡结果也会随着的变化而变化.由图2.1可知,(2.8)式中关于,的关系式横轴为,纵轴为,随着的变小,在的一个周期内的取值变小,从而可知随着分数阶拉普拉斯算11
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本文编号：3276476
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