分数阶对流扩散方程高精度有限差分格式研究

发布时间：2021-07-23 14:32

　　近年来,分数阶微分方程等相关问题因其重要的实际应用背景变成数学界专家学者们探讨的重点。然而分数阶导数具有时间层数和空间长度依赖性,通常情况下此类方程的精确解必须使用十分复杂的级数才能表示,因此深入探索合理可行的数值处理办法解决相关问题的现实意义十分重大。文章深入探究一维和二维具有可变系数的单边空间分数阶对流扩散方程,此类问题出现的实际背景是粒子等在物理系统里的一种反常扩散现象。我们考虑Riemann-Liouville（RL）定义的分数算子,在相关有限差分方法的现存文献中,针对这种定义的处理方式大多是基于经典和移位的r（5）（5）Letnikov-nwaldu G公式,其他算法比较少见。于是本文基于线性样条插值推导出在时间和空间上均具有二阶精度的有限差分方法。与此同时,本文也首次用一种无网格算法,也就是光滑粒子流体动力学（SPH）方法对单边空间分数阶对流扩散方程进行数值计算,现有文献中,还没有出现用SPH方法处理这类方程的。本文的主要工作:首先基于线性样条插值进行半离散,给出具有二阶精度的RL空间分数阶导数的数值离散化,再考虑Crank-Nicolson（CN）思想处理时间导数得到全离... 

【文章来源】：哈尔滨工业大学黑龙江省 211工程院校 985工程院校

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【学位级别】：硕士

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SCN方法的数值解与精确解

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文24ijijjijiWTTnpp1（3-27）iijijijjiqfWpnptT1（3-28）3.5数值算例本节将通过三个不同的一维空间分数阶对流扩散方程来研究SCN方法在数值精度、收敛性、稳定性等方面的表现。对于存在解析解的数值算例，将计算SCN方法和SPH方法的实验数据与解析解之间的差别；对于不存在解析解的算例，用SCN方法模拟其方程扩散。例3.1模拟如下方程10,,,1,0,010,,00,10,,10,,2,,,1tetutuxxuxuxtxxetxxutxuDtttxxt该方程的解析解为1,xetxut.令1.8,空间步长x025.0,时间步长t001.0.1)如图3-1，计算从ts1.0开始到ts9.0,每隔0.2s，SCN方法计算得到的数值解（点表示）与其精确解（线表示）之间的关系。2)如图3-2，计算出当ts1时刻SCN方法和SPH方法得到的数值解与精确解的三个对应点。图3-1SCN方法的数值解与精确解图3-2SCN方法、SPH方法的数值解与精确解

哈尔滨工业大学理学硕士学位论文26初值条件421022exp20.0110,-xxu边界条件,4,0tutu给出不同下的扩散过程。如图3-3，我们可以发现当2时反常扩散逐渐消失，与已有实验结果一致，同时也证明SCN方法的有效性。1.31.51.71.99图3-3不同下扩散方程的变化情况将SCN思路扩展到问题中存在左右RL导数的情况，如下式


本文编号：3299472