分数阶和整数阶自由振动单摆模型的解及其动力学性质
发布时间：2021-08-05 16:58
自由振动下的分数阶单摆模型是经典的整数阶单摆模型的一种推广,它在研究具有黏性特征下复杂介质中的振动问题方面有很好的应用.采用Laplace变换法和动力系统相图分析法,分别对分数阶线性单摆模型和整数阶非线性单摆模型的解及其动力学性质进行了系统研究,特别是在分数阶模型方面的研究,获得了一系列Mittag-Leffler函数形式的精确解,并进一步对二者之间解的动力学性质进行比较,最终给出了相关结论,这些研究成果对于在复杂介质中的振动问题方面的类似研究工作具有一定的参考价值.
【文章来源】：云南大学学报(自然科学版). 2020,42(05)北大核心CSCD
【文章页数】：10 页
【部分图文】：
图1分数阶自由振动的单摆模型：解（13）和解（15）的动力学演化坐标图Fig.1Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphsofdynamicevolutionofsolutions(13)and(15)1.2方程（2）在初值条件下的精确解及其动力学性质下面我们讨论方程（2）的初值问题：
θ0=π3,α=0.75,να=5,l=10,g=9.8,θ0=π3,μ=0.3,α=0.75,να=5,m=20,l=10,g=9.8,为了直观地展示有阻尼单摆模型方程（16）的运动规律和动力学性质，我们以解（21）和（22）为例，分别绘出它们的坐标图形.取固定参数值我们绘出了解（21）的坐标演化图形（图2（a））.类似地，如果取固定参数值我们利用解（22）的实部与虚部的和绘出了坐标演化图形（图2（b））.2整数阶非线性单摆模型方程（3）的精确解与动力学性质下面我们讨论方程（3）的初值问题：d2dt2+μmddt+glsin=0,(0)=θ0,′(0)=0,(23)θ0ddt其中，为单摆的最大偏转角.令=y,则方程（23）化为ddt=y,dydt=glsinμmy.(24)若摆线的摩擦系数μ=0，则方程（24）可约化为ddt=y,dydt=glsin.(25)由此我们可以得到方程（25）的首次积分如下：12y2=glcos+h.(26)其中，h是一个积分常数.为了便于下文讨论，我们将方程（26）改写为：H(,y)≡12y2glcos=h.(27)P(,y)=yQ(,y)=gl记，sin.为了方便讨论，我们把方程（25）的雅克比矩阵和雅克比行列式写成：图2分数阶自由振动的单摆模型：解（21）和解（22）的动力学演化坐标图Fig.2Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphso
闭的曲线，它的相轨道呈螺旋状，按顺时针方向做螺旋递进运动，最后趋于稳定的平衡位置，这个平衡位置就是方程（25）的稳定焦点.又从数值模拟的波形图（即图5）来看，有阻尼的单摆在自由振动时，振动幅度会随着时间的增加而减小，即单摆从最大偏转角开始摆动一段时间后就静止下来了.从而,可以得出这样的结论：有阻尼的单摆运动，即便是在理想状态下也不会出现周期运动.显然，整数阶线性模型方程（4）的通解有3种：(t)=c1eμ2m12√μ2m24glt+c2eμ2m12√μ2m2+4glt,(t)=(c1+c2t)eμ2mt,(t)=eμ2mtc1cos12√4glμ2m2t+c1cos12√4glμ2m2t.但是，无论分数阶线性模型方程（1）和（2）的阶数α怎么地趋近于1,它们的精确解也无法退化到上述3种精确解的形式，这就是分数阶系统与整数阶系统的最大区别.图3整数阶自由振动的非线性单摆模型的相图和波形图Fig.3Phaseportraitsandwave-formgraphofnonlinearpendulummodelofinteger-orderfreevibration图4不同初值条件下有阻尼的单摆模型的相图Fig.4Phaseportraitofapendulummodelwithdampingunderdifferentinitialconditions832云南大学学报（自然科学版）http://www.yndxxb.ynu.edu.cn第42卷
【参考文献】：
期刊论文
[1]单摆非线性特征的研究[J]. 刘正成,李青松,孙迎春. 物理实验. 2018(01)
[2]分数阶广义Bagley-Torvik方程的各种精确解及其动力学性质[J]. 黄潇,芮伟国. 云南大学学报(自然科学版). 2018(01)
[3]非线性单摆周期的数值解[J]. 陈大伟,斯小琴. 邵阳学院学报(自然科学版). 2017(06)
[4]一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性和多重性[J]. 汤小松. 云南大学学报(自然科学版). 2012(04)
[5]非线性分数阶微分方程边值问题多重正解的存在性[J]. 刘刚,胡卫敏,张稳根. 云南大学学报(自然科学版). 2012(03)
[6]非线性单摆运动的计算机仿真[J]. 邓永菊,王世芳,吴涛. 湖北第二师范学院学报. 2010(02)
[7]非线性单摆的Jacobi椭圆函数解[J]. 潘军廷,范梦慧,龚伦训. 大学物理. 2006(11)
本文编号：3324123
【文章来源】：云南大学学报(自然科学版). 2020,42(05)北大核心CSCD
【文章页数】：10 页
【部分图文】：
图1分数阶自由振动的单摆模型：解（13）和解（15）的动力学演化坐标图Fig.1Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphsofdynamicevolutionofsolutions(13)and(15)1.2方程（2）在初值条件下的精确解及其动力学性质下面我们讨论方程（2）的初值问题：
θ0=π3,α=0.75,να=5,l=10,g=9.8,θ0=π3,μ=0.3,α=0.75,να=5,m=20,l=10,g=9.8,为了直观地展示有阻尼单摆模型方程（16）的运动规律和动力学性质，我们以解（21）和（22）为例，分别绘出它们的坐标图形.取固定参数值我们绘出了解（21）的坐标演化图形（图2（a））.类似地，如果取固定参数值我们利用解（22）的实部与虚部的和绘出了坐标演化图形（图2（b））.2整数阶非线性单摆模型方程（3）的精确解与动力学性质下面我们讨论方程（3）的初值问题：d2dt2+μmddt+glsin=0,(0)=θ0,′(0)=0,(23)θ0ddt其中，为单摆的最大偏转角.令=y,则方程（23）化为ddt=y,dydt=glsinμmy.(24)若摆线的摩擦系数μ=0，则方程（24）可约化为ddt=y,dydt=glsin.(25)由此我们可以得到方程（25）的首次积分如下：12y2=glcos+h.(26)其中，h是一个积分常数.为了便于下文讨论，我们将方程（26）改写为：H(,y)≡12y2glcos=h.(27)P(,y)=yQ(,y)=gl记，sin.为了方便讨论，我们把方程（25）的雅克比矩阵和雅克比行列式写成：图2分数阶自由振动的单摆模型：解（21）和解（22）的动力学演化坐标图Fig.2Pendulummodeloffractionalfreevibration:Graphso
闭的曲线，它的相轨道呈螺旋状，按顺时针方向做螺旋递进运动，最后趋于稳定的平衡位置，这个平衡位置就是方程（25）的稳定焦点.又从数值模拟的波形图（即图5）来看，有阻尼的单摆在自由振动时，振动幅度会随着时间的增加而减小，即单摆从最大偏转角开始摆动一段时间后就静止下来了.从而,可以得出这样的结论：有阻尼的单摆运动，即便是在理想状态下也不会出现周期运动.显然，整数阶线性模型方程（4）的通解有3种：(t)=c1eμ2m12√μ2m24glt+c2eμ2m12√μ2m2+4glt,(t)=(c1+c2t)eμ2mt,(t)=eμ2mtc1cos12√4glμ2m2t+c1cos12√4glμ2m2t.但是，无论分数阶线性模型方程（1）和（2）的阶数α怎么地趋近于1,它们的精确解也无法退化到上述3种精确解的形式，这就是分数阶系统与整数阶系统的最大区别.图3整数阶自由振动的非线性单摆模型的相图和波形图Fig.3Phaseportraitsandwave-formgraphofnonlinearpendulummodelofinteger-orderfreevibration图4不同初值条件下有阻尼的单摆模型的相图Fig.4Phaseportraitofapendulummodelwithdampingunderdifferentinitialconditions832云南大学学报（自然科学版）http://www.yndxxb.ynu.edu.cn第42卷
【参考文献】：
期刊论文
[1]单摆非线性特征的研究[J]. 刘正成,李青松,孙迎春. 物理实验. 2018(01)
[2]分数阶广义Bagley-Torvik方程的各种精确解及其动力学性质[J]. 黄潇,芮伟国. 云南大学学报(自然科学版). 2018(01)
[3]非线性单摆周期的数值解[J]. 陈大伟,斯小琴. 邵阳学院学报(自然科学版). 2017(06)
[4]一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性和多重性[J]. 汤小松. 云南大学学报(自然科学版). 2012(04)
[5]非线性分数阶微分方程边值问题多重正解的存在性[J]. 刘刚,胡卫敏,张稳根. 云南大学学报(自然科学版). 2012(03)
[6]非线性单摆运动的计算机仿真[J]. 邓永菊,王世芳,吴涛. 湖北第二师范学院学报. 2010(02)
[7]非线性单摆的Jacobi椭圆函数解[J]. 潘军廷,范梦慧,龚伦训. 大学物理. 2006(11)
本文编号：3324123
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