带有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程的算法研究

发布时间：2021-08-11 02:57

　　分数阶微积分作为整数阶微积分推广而出现,一方面其方程在一定程度上推动了分数阶微积分理论的发展,另一方面引起学者们的重视并被广泛应用于各大领域.比如海洋动力学、流体动力学、超导和经济金融等领域.虽然,分数阶微分方程能准确地解释一些数学物理领域内的非线性问题,但是一般情况下,分数阶微分方程的解析解较难得到,从而数值解的获取理论意义和应用价值显得尤为重要.本文对带有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程的两种数值解法进行探究.首先考虑用Ritz近似解决带有Caputo-Fabrizio分数阶导数的线性Fokker-Planck方程,并使用多项式函数得到代数方程组,然后求解了线性代数方程组,最后通过算例说明了该方法的有效性和适用性.其次,基于再生核理论,对Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程进行数值求解,构造二维再生核空间,将问题转化为求解非线性方程组,这种求解方法避免使用Gram-Schmidt正交化过程.并且提高计算的速度,最后通过数值算例说明了方法良好有效. 

【文章来源】：哈尔滨师范大学黑龙江省

【文章页数】：41 页

【学位级别】：硕士

【部分图文】：

图３．２：数值解与解析解比较??－［４２］

—４?８．０８２５８ｘ１０一５?４．３０４７４ｘ１０—５?２．８１９１９ｘ１０—５??０．７?１．６４２７６ｘｌ０—３?８．７７１３８ｘ１０—４?５．９７４４ｘ１０—４?４．５２８７６ｘ１０—４??０．８?３．２７６５８ｘ１０—３?１，７０７３８ｘ１０—３?１．１５３９７ｘ１０—３?８．７１４２５ｘｌ０—４??０．９?４．３３６１４ｘ１０—３?２．２５７９２ｘ１０—３?Ｌ５２５６７ｘ?１０—３?１．１５１９６ｘ１０—３??取：ｒ?＝?０．５，?ａ?＝?０．５，０．７，０．９，１数值结果如图４－１所示??２????＿?｜?｜?—０—?ａ?＝?０．５?￣Ａ￣?ａ?＝?０．７??■?—〇—?ａ?＝?０．９?—Ｄ—?ａ?＝?１．０??丁?—丨１?■??Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ?Ｉ??０?—??ｉ?ｒ￣ｎ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?ｉ?｜??０?０．２?０．４?０．６?０．８?１??图４．１：?ｒｒ?＝?０．５时的数值解结果比较??取ａ?＝?１时数值解与解析解的三维曲面如图４－２所示??－２２－??

第４掌再生核法求解非浅性Ｃａｐｕｔｏ－Ｆａｂｒｉｚｉｏ分数阶导数的ＲＡｋｅ＆Ｐｌａｎｃｋ方程??＿??１＾）??□?数值解?ａ?解析解??图４．２：取ａ?＝?１．０时的数值解与解析解三维曲面比较??４．４．２算例二??取乂（Ｍ，＝?ｆ?—?ｆ，Ｂ（Ｍ，?ｑ?Ｒ考虑如下算例??＾?９?＿?ｆ＞ｕ｛ｘ＾）＼?＋?－§＾Ｕ２｛＾，?ｔ），?〇?ｅ?（０，?ｌ］，ｘ，ｔ?ｅ?［０，１］?（４＿２４）??Ｕ｛ｘ＾?０）?＝?ｘ２??当ａ?＝?１时，我们可以得到精确解??由于方程在ａ不是整数时，解析解不易求出，所以为了比较误差，如表４－２，我??们取ａ?＝?Ｈ，＝Ｍ，＝｜｜，＝Ｍ时的数值解来与〇■?＝?ｉ时的解析解来比较误墓??—?２３?—??

【参考文献】：
期刊论文
[1]关于边值问题的一种新的再生核数值算法[J]. 朱慧,林迎珍.  数学的实践与认识. 2015(23)
[2]三步五阶迭代方法解非线性方程组[J]. 张旭,檀结庆.  计算数学. 2013(03)
[3]W22（D）空间函数的近似再生[J]. 吴勃英.  哈尔滨师范大学自然科学学报. 1995(03)
[4]W22[a,b]空间中的最佳Hermite插值算子[J]. 吴勃英,崔明根,邓中兴.  计算物理. 1988(02)
[5]Solutions to the Definite Solution Problem of Differential Equations in Space W2l[J]. 崔明根,邓中兴,张少谦.  数学进展. 1988(03)
[6]W21空间中的最佳插值逼近算子[J]. 崔明根,邓中兴.  计算数学. 1986(02)



本文编号：3335304