分数阶偏微分方程高效数值算法及其参数估计
发布时间：2021-09-02 03:36
分数阶微积分是一个古老而新鲜的话题,在早期,由于缺乏物理机理解释、应用背景研究等原因,分数阶微积分发展缓慢.后来随着科学技术的发展,关于分数阶微积分的研究内容由理论研究逐步转向应用研究,比如其在高能物理、反常扩散、生物医学工程、系统控制及复杂粘弹性材料力学本构关系中的应用.近年来,许多学者对分数阶微分方程的求解进行研究,但由于分数阶导数定义中的微分-积分卷积算子的存在,使得其具有历史依赖性和全局相关性的性质,因此直接求解分数阶偏微分方程的解析解比较困难.同时,根据实际问题所构建的分数阶微分方程模型,关于方程中各个参数的变化对模型的影响的研究,对于分析问题内在物理机理及力学机制等具有重要的研究意义.但是,目前对于分数阶模型中的参数估计问题,主要采用的方法是“试差法”,这种方法效率低下同时相对不稳定.因此,对分数阶微分方程提出高效数值求解方法,并基于正问题的数值方法,提出合适的模型参数估计方法是一项有意义的研究.本文主要研究分数阶微分方程的高效数值求解方法及其参数估计问题.首先,对于具有周期性边界条件的时空分数阶电报方程提出时间方向Crank-Nicolson有限差分、空间方向傅里叶谱方法...
【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：131 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２丄ａ?＝?０．５时，在时刻Ｚ?＝?１和Ｚ?＝?１／２数值解与解析解的对比（算例２．５．１）??
?？??－?」ｗ?－??１－?＼ｖ?１－?＼ｖ＼、??＂－Ｓ．?ｔ?、、、、．??－１０?■?－１０?■?－－ａ??？１２ｌ?■?＞?１?１?１?１??－１２?１?１?１?１?１?１?１???０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０?０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０??ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ?ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ??（ａ）?ａ?＝?０．４?（ｂ）?ａ?＝?０．８??图２．２：?ｔ?＝?０．０００１，ｃｉ?＝?０．４和ａ?＝?０．８时，空间方向的Ｌ２误差和孖误差（算??例?２．５．１）??图２．１给出当ｃｖ?＝?０．５时，在时刻Ｚ?＝?１和ｉ?＝?１／２时，数值解与解析解的对比图，??可以看出，数值解与解析解高度吻合．表２．１中列出当ＪＶ?＝?６４时，对于不同的时间??？?１８?？??
?山东大学博士学位论文???比来验证算法的有效性，时间和空间方向的误差分别记为??ｅｒｒｏｒ（ｒ）?＝?｜｜ｕ（ｘ，?ｉ，?０．０００２）?—?ｉ，ｒ）｜｜?，??ｅｒｒｏｒ（Ｎ）?—?｜｜？（ａ；，?ｔ，?１０２４）?—?ｕ（ｘ，?ｔ，?Ｎ）?｜｜．??图２．３描述了方程（２．５．２）中ａ，卢的取值分别为（《，／３），｛０．７，１．２）和（０．３，１．８）时??在ｉ?＝?ｌ时的数值解．表２．３给出了当ｉＶ?＝?６４时，不同取值下时间方向的Ｌ２误??差、炉／２误差、收敛阶及计算所需的ＣＰＵ时间，相对应的表２．４给出ｒ?＝?０．００１时，??不同（ａ，灼取值下空间方向的Ｌ２误差、好￣２误差、收敛阶及计算所需的ＣＰＵ时间．??图２．４给出关于空间方向ｉＶ的误差图像．综合图表信息可看出，采用有限差分傅里??叶谱方法求解时空分数阶电报方程，可以得到空间方向谱精度，时间方向（２－ｃ〇阶??精度，这与理论分析相一致．??０．６??＞?＇?＇???ｐ????ｆ?＼?—＊—?ａ＝０．７?０＝１．２??０．５?－?／?＼?｜—？—ｑ＝０．３＾１．８｜?－??－１０?－５?０?５?１０??ｘ??图２．３：?ａ?＝?０．７，／？?＝?１．２和ａ?＝?０．３，／３?＝?１．８时，在时刻ｉ?＝?１时的数值解（算??例?２．５．２）??为了说明ＬＭ方法在参数估计问题中的有效性，在表２．５中，我们列出当时空??分数阶电报方程中分数阶导数取值分别为（ａ，／３）?＝?（０．７，１．２）和（０．３，１．８）时，基于??正问题的数值结果，不同初始猜测值和随机扰动误差ａ下，采用ＬＭ方法所得到的??估计值、相对误
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于分形导数对非牛顿流体层流的数值研究[J]. 苏祥龙,许文祥,陈文. 力学学报. 2017(05)
[2]An inverse problem to estimate an unknown order of a Riemann-Liouville fractional derivative for a fractional Stokes’ first problem for a heated generalized second grade fluid[J]. Bo Yu,Xiaoyun Jiang,Haitao Qi. Acta Mechanica Sinica. 2015(02)
[3]中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[J]. 徐明瑜,谭文长. 中国科学G辑:物理学、力学、天文学. 2006(03)
本文编号：3378228
【文章来源】：山东大学山东省 211工程院校 985工程院校 教育部直属院校
【文章页数】：131 页
【学位级别】：博士
【部分图文】：
图２丄ａ?＝?０．５时，在时刻Ｚ?＝?１和Ｚ?＝?１／２数值解与解析解的对比（算例２．５．１）??
?？??－?」ｗ?－??１－?＼ｖ?１－?＼ｖ＼、??＂－Ｓ．?ｔ?、、、、．??－１０?■?－１０?■?－－ａ??？１２ｌ?■?＞?１?１?１?１??－１２?１?１?１?１?１?１?１???０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０?０?１０?２０?３０?４０?５０?６０?７０??ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ?ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ?ｄｅｇｒｅｅ?Ｎ??（ａ）?ａ?＝?０．４?（ｂ）?ａ?＝?０．８??图２．２：?ｔ?＝?０．０００１，ｃｉ?＝?０．４和ａ?＝?０．８时，空间方向的Ｌ２误差和孖误差（算??例?２．５．１）??图２．１给出当ｃｖ?＝?０．５时，在时刻Ｚ?＝?１和ｉ?＝?１／２时，数值解与解析解的对比图，??可以看出，数值解与解析解高度吻合．表２．１中列出当ＪＶ?＝?６４时，对于不同的时间??？?１８?？??
?山东大学博士学位论文???比来验证算法的有效性，时间和空间方向的误差分别记为??ｅｒｒｏｒ（ｒ）?＝?｜｜ｕ（ｘ，?ｉ，?０．０００２）?—?ｉ，ｒ）｜｜?，??ｅｒｒｏｒ（Ｎ）?—?｜｜？（ａ；，?ｔ，?１０２４）?—?ｕ（ｘ，?ｔ，?Ｎ）?｜｜．??图２．３描述了方程（２．５．２）中ａ，卢的取值分别为（《，／３），｛０．７，１．２）和（０．３，１．８）时??在ｉ?＝?ｌ时的数值解．表２．３给出了当ｉＶ?＝?６４时，不同取值下时间方向的Ｌ２误??差、炉／２误差、收敛阶及计算所需的ＣＰＵ时间，相对应的表２．４给出ｒ?＝?０．００１时，??不同（ａ，灼取值下空间方向的Ｌ２误差、好￣２误差、收敛阶及计算所需的ＣＰＵ时间．??图２．４给出关于空间方向ｉＶ的误差图像．综合图表信息可看出，采用有限差分傅里??叶谱方法求解时空分数阶电报方程，可以得到空间方向谱精度，时间方向（２－ｃ〇阶??精度，这与理论分析相一致．??０．６??＞?＇?＇???ｐ????ｆ?＼?—＊—?ａ＝０．７?０＝１．２??０．５?－?／?＼?｜—？—ｑ＝０．３＾１．８｜?－??－１０?－５?０?５?１０??ｘ??图２．３：?ａ?＝?０．７，／？?＝?１．２和ａ?＝?０．３，／３?＝?１．８时，在时刻ｉ?＝?１时的数值解（算??例?２．５．２）??为了说明ＬＭ方法在参数估计问题中的有效性，在表２．５中，我们列出当时空??分数阶电报方程中分数阶导数取值分别为（ａ，／３）?＝?（０．７，１．２）和（０．３，１．８）时，基于??正问题的数值结果，不同初始猜测值和随机扰动误差ａ下，采用ＬＭ方法所得到的??估计值、相对误
【参考文献】：
期刊论文
[1]基于分形导数对非牛顿流体层流的数值研究[J]. 苏祥龙,许文祥,陈文. 力学学报. 2017(05)
[2]An inverse problem to estimate an unknown order of a Riemann-Liouville fractional derivative for a fractional Stokes’ first problem for a heated generalized second grade fluid[J]. Bo Yu,Xiaoyun Jiang,Haitao Qi. Acta Mechanica Sinica. 2015(02)
[3]中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用[J]. 徐明瑜,谭文长. 中国科学G辑:物理学、力学、天文学. 2006(03)
本文编号：3378228
本文链接：https://www.wllwen.com/kejilunwen/yysx/3378228.html
