几类微分系统的奇点与极限环的研究

发布时间：2017-05-05 07:04

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【摘要】：对于微分系统而言,它是人类解决某些实际问题的重要手段.在日常生活中,许许多多的问题经过研究和分析可以转化为微分系统问题,如,生态系统、控制论、电子装置设计、弹道与飞机轨迹的定性分析、化学反应分析、人口模型等,与天文、物理、航天等科学领域关联度很高.伴随着数百年的发展,经过庞加莱、李亚普洛夫等全世界许多著名数学家的探索和研究,微分系统理论不断得到发展和完善.其中,微分系统环域理论是最实用的理论之一,对平面自治系统的奇点和极限环的研究有着重要作用.自Hilbert在国际报告上提出的第16个半的问题,平面自治系统的极限环的个数和位置问题得到广泛的关注.随着对Lie'nard系统进行大量研究,许多研究者采用微分系统环域理论,在不同的条件限制下,得到了一极限环的充分性定理,而且这些定理在平面自治系统研究过程中的起着一定的作用.很多复杂的微分系统可以经过一系列的拓扑变换转化为Lie'nard系统,再根据相关的充分性定理进行分析研究.例如,平面二次系统、三次系统的极限环就得到了较为详细的分析,针对不同的参数,许多文献[1,3-7]得到了一些非常好的结论；文献[8-16]通过对特殊的Hamilton扰动系统得到的高阶系统,计算得到了极限环个数存在的最大上界.相对而言,平面系统次数越高,未知参数越多,一般n次系统极限环的个数上界至今还没有确定.众所周知,奇点和极限环关联度很高,极限环的内部必包含奇点,且奇点的指数之和必为1,若要研究极限环的相对位置,必先研究奇点的性质.根据奇点指数之和判断极限环存在的相对区域,这样就可以避开许多不必要的假设.本文首先介绍了微分系统的历史研究背景及相关的研究工作；其次,针对于一般的光滑平面自治系统,采用一种技巧计算二维系统的高阶奇点指数,将求奇点指数的问题转化为求方程零解的问题,得到一些新的结论；然后,研究了一类具有三个奇点情形的E；系统,利用奇点的稳定性与仅包含此点的极限环的稳定性不能相同的结论、Hopf分支及Lie'nard系统的一些相关定理,给出极限环存在与唯一的几个条件.最后讨研究一类En+11系统极限环的个数和相对位置问题,将极限环的个数问题转化为多项式的零根问题,得到极限环相对位置和个数上界.
【关键词】：奇点指数 极限环 存在性 个数 位置
【学位授予单位】：安徽大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要3-4
• ABSTRACT4-7
• 第一章 绪论7-10
• §1.1 背景介绍7-8
• §1.2 工作规划8-10
• 第二章 二维平面系统高阶奇点指数计算10-24
• §2.1 引言叙述10-11
• §2.2 预备知识11-16
• §2.3 主要结论16-24
• 第三章 一类E_3~1系统极限环的存在性和唯一性24-36
• §3.1 问题提出24-25
• §3.2 基本引理25-29
• §3.3 主要结论29-36
• 第四章 一类平面E_(n+1)~1系统极限环的个数和位置问题36-43
• §4.1 问题提出36
• §4.2 基本引理36-38
• §4.3 主要结论38-43
• 参考文献43-46
• 致谢46-47
• 硕士期间研究情况47

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前10条

1 Weide Zhang;;EXISTENCE AND UNIQUENESS OF LIMIT CYCLES FOR A CLASS OF CUBIC DIFFERENTIAL SYSTEM[J];Annals of Differential Equations;2013年04期

2 吕宝红;夏静;王金诚;郑冬云;;一类微分系统在三次多项式扰动下的极限环估计[J];四川师范大学学报(自然科学版);2013年04期

3 周久红;肖箭;王t@;宋国强;;一类三次系统E_3~1的极限环与分支(英文)[J];应用数学;2013年03期

4 范兴宇;黄文韬;陈爱永;;一类四次哈密尔顿系统的极限环数[J];中山大学学报(自然科学版);2012年02期

5 刘兴国;刘斌;吕勇;;一类平面三次系统极限环的存在唯一性[J];湖南工业大学学报;2010年01期

6 李少勇;;一类具有七次扰动项的三次系统极限环分支[J];韶关学院学报;2009年09期

7 杜红珊;李锋;;一类E_3~1系统的定性分析[J];西北大学学报(自然科学版);2008年06期

8 王静;和媛媛;;一类三次Hamilton系统的极限环分支[J];高等函授学报(自然科学版);2008年02期

9 刘兴国;黄立宏;;一类平面五次系统的极限环的存在唯一性[J];湖南工业大学学报;2007年03期

10 杨宇俊;张剑峰;;一类三次系统的极限环与分支问题[J];高校应用数学学报A辑(中文版);2006年04期

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本文编号：345849