时间（缓增）分数阶扩散方程的局部间断Galerkin方法

发布时间：2022-01-08 10:49

　　分数阶微积分在众多领域有着广泛的应用,而用分数阶扩散方程描述粒子的反常扩散现象则是分数阶微积分的一个典型应用。因分数阶微积分的历史依赖性和非局部性质,增加了分数阶微分方程数值求解时的计算量,并给计算机的存储带来不便,一般通过构造高阶算法和快速算法克服此困难。局部间断Galerkin有限元方法因其极强的灵活性和高精度性能备受关注。本文结合有限差分法和局部间断Galerkin法,研究时间分数阶扩散方程和时间缓增分数阶扩散方程的高阶数值格式,并进行相应的理论分析。主要内容如下:（1）建立时间缓增分数阶扩散方程的高阶数值格式。首先用局部间断Galerkin有限元方法离散空间导数,得到空间方向具有（k + 1）阶精度的半离散格式,其中k为有限元空间中多项式基函数的最高次数。然后用q（q= 1,2,3,4）阶缓增加权位移Lubich算子离散时间导数,得到收敛阶为O（τq+hk+1）的全离散格式,并在L2范数意义下证明了半离散格式和全离散格式的稳定性和收敛性。最后数值算例和数值模拟结果表明了该格式的有效性。（2）建立时间分数阶扩散方程的具有时间二阶精度的两种数值格式。采用局部间断Galerkin有限... 

【文章来源】：西安理工大学陕西省

【文章页数】：64 页

【学位级别】：硕士

【文章目录】：
摘要
Abstract
1 绪论
    1.1 研究背景与意义
    1.2 国内外研究进展
    1.3 预备知识
        1.3.1 有限元空间
        1.3.2 几个基本不等式
    1.4 本文的工作
2 时间缓增分数阶扩散方程的局部间断Galerkin方法
    2.1 缓增分数阶扩散方程的等价形式及解的先验估计
    2.2 半离散局部间断Galerkin格式
        2.2.1 稳定性和收敛性
    2.3 全离散局部间断Galerkin格式
        2.3.1 稳定性分析
        2.3.2 收敛性分析
    2.4 数值实验
    2.5 本章小结
3 时间分数阶扩散方程的局部间断Galerkin方法
    3.1 半离散局部间断Galerkin格式
        3.1.1 稳定性和收敛性分析
    3.2 全离散局部间断Galerkin格式
        3.2.1 全离散LDG格式Ⅰ(LDG-Ⅰ)
        3.2.2 稳定性与收敛性分析
        3.2.3 全离散LDG格式Ⅱ(LDG-Ⅱ)
        3.2.4 稳定性与收敛性分析
    3.3 数值实验
    3.4 本章小结
4 时间分数阶扩散方程的局部间断Galerkin快速算法
    4.1 Caputo分数阶导数的快速算法
    4.2 全离散局部间断Galerkin格式
    4.3 稳定性与收敛性分析
    4.4 本章小结
5 总结与展望
    5.1 总结
    5.2 展望
致谢
参考文献
附录


【参考文献】：
博士论文
[1]分数阶微分方程的高阶算法及理论分析[D]. 陈明华.兰州大学 2015
[2]几类分数阶反常扩散方程的数值分析[D]. 李灿.兰州大学 2012
[3]分数阶微分方程的理论分析与数值计算[D]. 邓伟华.上海大学 2007



本文编号：3576420