关于椭圆与抛物型偏微分方程的一些新结果

发布时间：2022-10-08 10:48

　　本文主要探讨了两类偏微分方程解的奇异极限问题,即研究当参数趋于零时抛物型Allen-Cahn方程和椭圆型Sinh-Poisson方程的解的收敛性.我们利用几何测度论的相关理论建立了 Allen-Cahn方程解的收敛性,运用Lyapunov-Schmit有限维约化方法研究了 Sinh-Poisson方程集中解的存在性.本文共分三章:在第一章,我们概述了本文所讨论问题的研究背景及国内外研究现状,并简要介绍了本文所做的工作.在第二章,我们研究了下列带有Dirichlet边界条件的抛物型Allen-Cahn方程其中Ω（?）Rn（n≥2）是一个严格凸的有界光滑区域,ε＞0是一个小的正参数,初始值v0ε满足一些适当的条件,F是一个双稳位势函数.我们定义对应方程（0.0.1）解的能量测度成为dμtε=（ε/2|▽vε|2+F（vε）/ε）dx,残差测度ξtε为dξtε=（ε/2|▽vε|2+F（vε）/ε）dx.当考虑vε满足Dirichlet边界条件或动态边界条件时,Y.Giga,F.Onoue和K.Takasao（arXiv:1810.09107）在假设:a.极限残差测度|ξ|直到区域边界消失为... 

【文章页数】：123 页

【学位级别】：博士

【文章目录】：
内容摘要
Abstract
第一章 绪论
    1.1 Allen-Cahn方程的研究背景及本文的主要结果
        1.1.1 背景知识与相关问题
        1.1.2 一些记号
        1.1.3 几何测度论中的定义,记号以及两个重要的引理
        1.1.4 主要结论
    1.2 Sinh-Poisson方程的背景及本文的主要结果
        1.2.1 背景知识与相关问题
        1.2.2 一些记号
        1.2.3 一些定义及引理
        1.2.4 主要结论
    1.3 全文布局
第二章 一类带有Dirichlet边界条件的抛物型Allen-Cahn方程解的收敛性
    2.1 问题的陈述及主要结果
    2.2 预备工作
        2.2.1 辅助函数z~ε(x,t)的构造
        2.2.2 与解相关的性质
    2.3 边界梯度估计
    2.4 涉及残差测度的单调公式
    2.5 关于残差的估计
    2.6 能量测度的收敛性
    2.7 残差测度消失
    2.8 主要结论的证明
第三章 关于带有Henon项的Sinh-Poisson方程解的集中现象的研究
    3.1 问题的陈述及主要结果
    3.2 近似解的构造
    3.3 关于线性化方程的分析
    3.4 一个非线性问题的可解性
    3.5 有限维变分约化过程
    3.6 能量泛函的渐近展开式
    3.7 主要结论的证明
参考文献
攻读博士学位期间已发表和待发表的论文
致谢



本文编号：3687577