几类非线性分数阶Laplace方程解的存在性

发布时间：2023-03-18 21:55

　　在过去几十年中,经典的Laplace方程理论得到了充分的发展。这一类偏微分方程在数学、物理、化学、生物、工程、材料等许多领域都有着重要的应用。Laplace方程能够很好地解释很多实际问题中的扩散现象,然而却不能解释许多反常扩散现象,为此发展出了分数阶Laplace方程。分数阶Laplace算子是Laplace算子的一种推广,继承了Laplace算子的一些重要的性质,例如有界线性性、自共轭性等,这为分数阶Laplace方程的研究提供了方便。然而,与Laplace算子不同,分数阶Laplace算子是一种非局部拟微分算子,这为相关问题的研究造成了实质性的困难。在本文中,以分数阶Sobolev空间为背景,利用分数阶Laplace算子的性质,研究几类非线性分数阶Laplace方程解的存在性、多重性及分歧性。首先,对一类带有不定非线性项的分数阶Laplace方程进行研究。通过应用一个基本不等式,得到相应的弱极值原理;利用弱极值原理,得到该方程的上下解方法;通过复杂的分析技巧,建立该方程对应的Hopf引理;利用分数阶Laplace算子的谱理论,得到参数应满足的条件;运用方程的上下解方法,证明使得方程...

【文章页数】：94 页

【学位级别】：博士

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摘要
ABSTRACT
第1章 绪论
    1.1 课题背景
    1.2 分数阶Laplace方程的研究现状及分析
    1.3 本文的主要研究内容
第2章 预备知识
    2.1 分数阶Laplace算子的定义
    2.2 分数阶Laplace方程的泛函框架
    2.3 分数阶Sobolev嵌入定理
    2.4 分数阶Laplace算子的基本性质
    2.5 本章小结
第3章 带有不定非线性项的分数阶Laplace方程
    3.1 引言
    3.2 极值原理、上下解方法及Hopf引理
    3.3 正解的存在性
    3.4 本章小结
第4章 非齐次半线性分数阶Laplace方程解的存在性
    4.1 引言
    4.2 极值原理、先验估计和集中紧致原理
    4.3 第一个正解的存在性
    4.4 本章小结
第5章 非齐次半线性分数阶Laplace方程正解的多重性和分歧性
    5.1 引言
    5.2 第二个正解对应泛函的Aubin型估计
    5.3 第二个正解的存在性
    5.4 正解的多重性及分歧性
    5.5 本章小结
结论
参考文献
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果
致谢
个人简历



本文编号：3763946