非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式
发布时间：2024-03-08 03:25
本论文主要研究有界区域中非线性偏微分方程的间断有限元方法。我们首先证明了 Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程局部间断有限元方法的能量稳定性和最优误差估计。其次,基于Karush-Kuhn-Tucker(KKT)限制器,我们通过拉格朗日乘子分别构造了反应欧拉方程和非线性退化抛物方程高阶保界的隐式时间离散的间断有限元和局部间断有限元格式。论文的第一部分,我们研究了 Allen-Cahn方程二阶和三阶半隐式谱延迟校正(SDC)时间离散的局部间断有限元格式的能量稳定性和最优误差估计。由于SDC方法是基于一阶凸分裂格式,因此时间离散方法对非线性项的隐式处理会导致每个时间层的方程组都是非线性的,增加了理论分析的难度。对于结合二阶和三阶SDC方法的局部间断有限元离散格式,我们利用有限维空间中的不动点定理证明了数值解的存在唯一性。同时半隐式SDC格式中所涉及的迭代和积分也增加了理论分析的难度。与不包括最左端点的龙格库塔型半隐式格式相比,这里的SDC格式将最左端点作为正交节点。这使得SDC格式测试函数的选取更加复杂,能量方程的构建更加困难。我们提供了两种不同的方法来克服非线性项带来...
【文章页数】：141 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第1章 简介
1.1 间断有限元方法
1.2 KKT限制器
1.3 本文工作
第2章 预备知识
2.1 常用记号和内积空间
2.2 有限元空间
2.3 投影及其相关性质
2.4 时间离散方法
2.4.1 谱延迟修正方法
2.4.2 对角隐式龙格库塔方法
2.5 半光滑牛顿方法
第3章 Allen-Cahn方程高阶隐式时间离散的局部间断有限元方法的稳定性及误差分析
3.1 研究背景
3.2 二阶SDC-LDG格式
3.2.1 全离散数值格式
3.2.2 解的存在唯一性
3.2.3 稳定性
3.2.4 误差分析
3.3 三阶SDC-LDG格式
3.3.1 全离散数值格式
3.3.2 解的存在唯一性
3.3.3 稳定性
3.3.4 误差分析
3.4 数值结果
3.4.1 精度测试
3.4.2 格式稳定性需要的时间步长与ε满足的关系
3.5 本章总结
第4章 Cahn-Hilliard方程无条件稳定的局部间断有限元方法的误差分析
4.1 研究背景
4.2 全离散LDG格式
4.2.1 线性化的间断有限元格式
4.2.2 无条件能量稳定性
4.3 初始条件的误差估计
4.4 主要结果
4.4.1 误差估计
4.4.2 误差方程
4.4.3 辅助结果
4.4.4 定理4.4的证明
4.5 数值结果
4.6 本章小节
第5章 反应欧拉方程高精度保界隐式时间离散格式
5.1 研究背景
5.2 隐式时间离散的DG方法
5.2.1 分步法
5.2.2 半离散DG格式
5.2.3 全离散DIRK-DG格式
5.3 保界DG离散格式
5.3.1 具有保界约束条件的DG格式
5.3.2 齐次方程的限制条件
5.3.3 反应方程使用Harten's SR技术的高阶隐式格式
5.4 求解半光滑KKT方程的牛顿方法
5.5 刚性多物种爆炸问题的算法
5.6 数值算例
5.6.1 欧拉方程
5.6.2 反应欧拉方程
5.7 本章小结
第6章 非线性退化抛物方程的熵耗散高阶隐式时间离散格式
6.1 研究背景
6.2 半离散LDG格式
6.2.1 空间上的LDG离散
6.2.2 熵耗散性
6.3 隐式时间离散的LDG格式
6.3.1 向后欧拉LDG格式
6.3.2 稳定状态的保持
6.3.3 高阶DIRK-LDG离散格式
6.4 高阶保正的DIRK-LDG格式
6.5 数值算例
6.5.1 精度测试
6.5.2 双势阱非线性扩散方程
6.5.3 多孔介质方程
6.5.4 费米子气体的非线性Fokker-Plank方程
6.5.5 玻色子气体的非线性Fokker-Plank方程
6.6 本章小节
第7章 总结与展望
参考文献
致谢
在读期间发表的学术论文与取得的研究成果
本文编号：3921934
【文章页数】：141 页
【学位级别】：博士
【文章目录】：
摘要
ABSTRACT
第1章 简介
1.1 间断有限元方法
1.2 KKT限制器
1.3 本文工作
第2章 预备知识
2.1 常用记号和内积空间
2.2 有限元空间
2.3 投影及其相关性质
2.4 时间离散方法
2.4.1 谱延迟修正方法
2.4.2 对角隐式龙格库塔方法
2.5 半光滑牛顿方法
第3章 Allen-Cahn方程高阶隐式时间离散的局部间断有限元方法的稳定性及误差分析
3.1 研究背景
3.2 二阶SDC-LDG格式
3.2.1 全离散数值格式
3.2.2 解的存在唯一性
3.2.3 稳定性
3.2.4 误差分析
3.3 三阶SDC-LDG格式
3.3.1 全离散数值格式
3.3.2 解的存在唯一性
3.3.3 稳定性
3.3.4 误差分析
3.4 数值结果
3.4.1 精度测试
3.4.2 格式稳定性需要的时间步长与ε满足的关系
3.5 本章总结
第4章 Cahn-Hilliard方程无条件稳定的局部间断有限元方法的误差分析
4.1 研究背景
4.2 全离散LDG格式
4.2.1 线性化的间断有限元格式
4.2.2 无条件能量稳定性
4.3 初始条件的误差估计
4.4 主要结果
4.4.1 误差估计
4.4.2 误差方程
4.4.3 辅助结果
4.4.4 定理4.4的证明
4.5 数值结果
4.6 本章小节
第5章 反应欧拉方程高精度保界隐式时间离散格式
5.1 研究背景
5.2 隐式时间离散的DG方法
5.2.1 分步法
5.2.2 半离散DG格式
5.2.3 全离散DIRK-DG格式
5.3 保界DG离散格式
5.3.1 具有保界约束条件的DG格式
5.3.2 齐次方程的限制条件
5.3.3 反应方程使用Harten's SR技术的高阶隐式格式
5.4 求解半光滑KKT方程的牛顿方法
5.5 刚性多物种爆炸问题的算法
5.6 数值算例
5.6.1 欧拉方程
5.6.2 反应欧拉方程
5.7 本章小结
第6章 非线性退化抛物方程的熵耗散高阶隐式时间离散格式
6.1 研究背景
6.2 半离散LDG格式
6.2.1 空间上的LDG离散
6.2.2 熵耗散性
6.3 隐式时间离散的LDG格式
6.3.1 向后欧拉LDG格式
6.3.2 稳定状态的保持
6.3.3 高阶DIRK-LDG离散格式
6.4 高阶保正的DIRK-LDG格式
6.5 数值算例
6.5.1 精度测试
6.5.2 双势阱非线性扩散方程
6.5.3 多孔介质方程
6.5.4 费米子气体的非线性Fokker-Plank方程
6.5.5 玻色子气体的非线性Fokker-Plank方程
6.6 本章小节
第7章 总结与展望
参考文献
致谢
在读期间发表的学术论文与取得的研究成果
本文编号：3921934
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