关于二次型零点的注记

图1 r=2情形

(ii)当r≥3时,当且仅当α,γ的夹角与β,δ的夹角相等,即〈α,γ〉=〈β,δ〉(或者等价地,αγT=βδT)且αδT+γβT=0时,α+γ,β+δ也是一对等长的正交向量;(iii)当(ii)中条件成立时,任给实数k,l都有kα+lγ,kβ+lδ是一对等长的正交向量.

图2 r≥3情形

因此α+γ,β+δ等长且正交.对于r≥3,如图2所示,由于|α|=|β|,|γ|=|δ|,通过计算内积容易知道,|α+γ|=|β+δ|当且仅当αγT=βδT.注意到向量夹角的定义,cos?α,γ?=αγΤ|α||γ|,因此当且仅当〈α,γ〉=〈β,δ〉.同样计算内积容....