两类二次可逆系统的极限环和Abel积分研究

发布时间：2017-06-08 13:10

  本文关键词：两类二次可逆系统的极限环和Abel积分研究，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：迄今为止,Hilbert第16问题依然是非线性微分方程中的最著名且最具挑战性的一个问题。V.I.Arnold在1977年提出了该问题的一个弱化形式,之后研究弱化的希尔伯特第16问题成为当今微分方程研究的前沿和热点问题之一。但到目前为止,此问题的大部分结果还是关于Hamilton系统的,对于可积非Hamilton系统研究较少。近年来可积非Hamilton系统中的可逆系统受到人们的普遍关注,但是由于缺少方法,研究仍然比较困难。基于这样的背景,本文以定性理论为基础,通过两种不同方法分别考虑了当扰动次数不同时的两类二次可逆系统:当扰动多项式项次数为4的时候,首先通过研究该二次可逆系统轨线的有关性态,结合判定函数的有关定义给出了该系统的一个判定函数。再通过对判定函数中相应参数进行适当的赋值得到关于极限环个数的结论。最后运用数值模拟的方法确定了这些极限环的确切位置,进一步验证了得到的结论;当扰动多项式项次数为任意n的时候,通过该系统的Hamilton量进行适当变换,得到有关的Picard-Fuchs方程和Riccati方程。再寻找PicardFuchs方程和Riccati方程之间的关系,最后得到了该系统的Abel积分零点个数的线性估计。研究结果表明:当扰动次数较低的时候可以选择判定函数与数值模拟的方法来得到极限环的个数并确定它们所在的位置;当扰动次数较高的时候运用PicardFuchs方程和Riccati方程来研究Abel积分的零点个数上界。本文中得到的结论是一类二次可逆系统在4次多项式扰动的情况下可以产生3个极限环,并且给出了每个极限环经过的确切位置;另一类二次可逆系统在任意n次多项式的扰动下,当n≥3时,Abel积分的零点个数上界为7[n/2]-4。
【关键词】：二次可逆系统 极限环 Abel积分 判定函数 数值模拟 Picard-Fuchs方程 Riccati方程
【学位授予单位】：云南财经大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要3-4
• Abstract4-8
• 第一章 引言8-16
• 1.1 研究背景8-13
• 1.1.1 希尔伯特第16问题8-11
• 1.1.2 二次系统的分类11-12
• 1.1.3 二次可逆系统12-13
• 1.2 研究现状13-14
• 1.3 研究内容和研究方法14-15
• 1.4 创新点15-16
• 第二章 弱化希尔伯特第16问题的主要研究方法及其相关应用16-24
• 2.1 判定函数与数值探测的方法16-20
• 2.1.1 判定函数与数值探测16-19
• 2.1.2 判定函数与数值探测方法的一些应用19-20
• 2.2 Picard-Fuchs方程和Riccati方程方法20-24
• 2.2.1 Picard-Fuchs方程和Riccati方程20-21
• 2.2.2 关于Picard-Fuchs方程方法的一些应用21-24
• 第三章 一类二次可逆系统的极限环研究24-30
• 3.1 非扰动系统的分析24-26
• 3.2 扰动系统极限环的分析26-28
• 3.3 有关结论28-30
• 第四章 一类二次可逆系统的Abel积分的零点估计30-43
• 4.1 基本知识30-32
• 4.2 Abel积分及其表示32-36
• 4.3 Picard-Fuchs方程和Riccati方程36-39
• 4.4 Abel积分零点个数的线性估计39-41
• 4.5 有关结论41-43
• 结论与展望43-45
• 参考文献45-49
• 致谢49-50
• 本人在读期间的研究成果50

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本文编号：432611