半线性非局部反应扩散方程解的存在性与吸引子

发布时间：2017-06-26 08:23

  本文关键词：半线性非局部反应扩散方程解的存在性与吸引子，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：早在300年前数学家们就提出了有关分数阶导数的概念,但直到最近几十年,分数阶导数才得到数学家及自然学家的广泛关注,原因在于它成功地描述了许多空间非局部和时间记忆性的现象.在数学上,经典反应扩散方程的扩散项是通过Laplace算子来体现的,但Laplace算子只能反映空间上的局部作用,将方程中的扩散项改成非局部算子时,就会产生反常扩散.本文主要考虑一种非局部反应扩散方程,将经典反应扩散方程中的Laplace算子用非局部算子Aα来代替.其中Aα是一个分数阶Laplace算子,它是利用奇异积分来定义的.对于经典的反应扩散方程,弱解的存在性,吸引子等问题的理论比较完备,而非局部方程有关于这部分理论还不够完善,本文主要探讨带有这种非局部算子的反应扩散方程在某个Sobolev空间中弱解的存在性,以及其L2(D)全局吸引子的存在性.本文首先回顾和介绍实指数Sobolev空间,非局部向量微积分以及Sobolev空间中嵌入定理等相关预备知识,然后利用Galerkin逼近方法证明非局部反应扩散方程在某个Sobolev空间中弱解的存在性.进一步地,在弱解存在的基础上,我们考虑了系统的长时间动力学行为.全局吸引子是刻画耗散动力系统长时间动力学行为的一个合适概念,它表明系统最终会趋向于某个紧的不变集.本文针对此类非局部反应扩散方程的一个具体模型,证明其L2(D)全局吸引子的存在性.
【关键词】：非局部反应扩散方程 分数阶Laplace算子 非局部向量微积分 嵌入定理 吸引子
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-7
• 1 绪论7-14
• 1.1 选题背景与意义7-9
• 1.2 国内外研究现状9-11
• 1.3 研究方法11-12
• 1.4 研究内容和主要结果12-14
• 2 预备知识14-23
• 2.1 实指数Sobolev空间H s14-15
• 2.2 非局部向量微积分15-20
• 2.3 Sobolev嵌入定理20-21
• 2.4 一些收敛定理21-23
• 3 弱解的存在性23-36
• 3.1 弱解23-24
• 3.2 弱解的存在性证明24-36
• 4 L~2(D) 上吸引子的存在性36-43
• 4.1 吸引子存在性定理36-37
• 4.2 原问题在L~2(D) 上吸引子存在的证明37-43
• 5 一些展望43-44
• 致谢44-45
• 参考文献45-47

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本文编号：485499