两类非线性方程的分片牛顿解法

发布时间：2017-06-30 06:12

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【摘要】：自然界大多数现象的本质都可以由非线性方程所描述,因此解决非线性问题对于了解真实世界起着至关重要的作用,尤其是在工程问题和物理应用上受到广泛关注。通常这类方程很难得到解析解,或者在实际应用中根本不需要求出其解析解,所以求解其数值解就变得非常重要且具有实际的应用价值。在本文中,我们给出了两类非线性方程的数值解法。牛顿法是非常有效的方法,很多研究者应用这种方法已经取得了很大的成果。本文中,我们引进和提出一种新的有效的迭代方法,分片牛顿法。该方法是牛顿法的改进和优化。分片牛顿法的基本思想是将区间[0,T]平均的分成一些子区间,并且在每个小区间上应用牛顿迭代法。该算法严格的收敛性证明和近似解的误差估计已经给出。本文的第一部分是用分片牛顿法求解非线性振子微分方程。值得注意的是,当方程是强非线性振子方程的时候我们的方法仍然有效,而之前提出的很多方法只针对弱的振子方程。除此之外,对于较长区间的模型我们的方法比传统的牛顿法更有效。文章的最后,用四个算例来说明该方法的有效性。本文的第二部分给出了带有弱奇异核的二阶Volterra积分方程的分片牛顿解法。实际上,分片牛顿法具有二阶收敛速度,并且比牛顿法更有效,主要体现在当牛顿法发散时,分片后的牛顿法仍然有很好的数值结果。最后,给出一些数值算例来证明该技术的实用性与有效性。
【关键词】：非线性方程 分片牛顿法(PNM) 收敛性证明
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-8
• 第1章 绪论8-12
• 1.1 课题来源及背景8
• 1.2 振子微分方程的研究现状及分析8-9
• 1.3 Volterra积分方程的研究现状及分析9-10
• 1.4 本文研究的主要内容10-12
• 第2章 分片牛顿法求解带有长区间的强非线性振子微分方程12-26
• 2.1 引言12
• 2.2 预备知识12-13
• 2.3 分片牛顿法13-17
• 2.3.1 分片牛顿法的基本思想13-14
• 2.3.2 算子的F -导数14-15
• 2.3.3 逆算子范数估界15-17
• 2.4 收敛性17-22
• 2.5 数值实验22-25
• 2.5.1 具体的计算过程22
• 2.5.2 数值算例22-25
• 2.6 本章小结25-26
• 第3章 带有弱奇异核的二阶非线性Volterra积分方程的分片牛顿解法26-38
• 3.1 引言26
• 3.2 预备知识26-28
• 3.3 分片牛顿法28-30
• 3.3.1 分片牛顿法的基本思想28-29
• 3.3.2 算子的F -导数29
• 3.3.3 逆算子范数估界29-30
• 3.4 收敛性30-33
• 3.5 数值实验33-37
• 3.5.1 具体的计算过程33-34
• 3.5.2 数值算例34-37
• 3.6 本章小结37-38
• 结论38-39
• 参考文献39-45
• 致谢45

【参考文献】

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1 何吉欢;δ-摄动方法的一点注释[J];应用数学和力学;2002年06期

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本文编号：500849