两类随机微分方程数值方法的强收敛性分析

发布时间：2017-07-01 11:07

  本文关键词：两类随机微分方程数值方法的强收敛性分析，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：近几十年里,随机(延迟)微分方程的理论分析、计算方法和实际应用都已被广泛地讨论。随着对物理学、医学、动力学、经济学、生物等领域的探索和研究,人们发现带有记忆的随机模型能更加真实地描述自然界中的客观规律。这些模型不仅依赖于当前状态以及过去某些时刻的状态或整个历史的状态,甚至还依赖于过去状态量的导数,这就产生了随机分数阶微分方程(SFDEs)和中立型随机延迟微分方程(NSDDEs)。对于SFDEs以及NSDDEs,目前大部分都不能够获得其精确解的解析表达式,因此数值算法的研究具有相当的重要性。目前文献中研究NSDDEs的数值方法大多数是在全局(局部)Lipchtiz和线性增长条件下进行的,并且对于SFDEs的数值算法仅有少量的文献可供参考。不确定性、中立性和分数阶导数的存在,使得求解此两类问题具有挑战性。因此寻找求解这两类问题的有效的数值方法是相当有必要的。本文主要内容包括:在第一章,简要叙述了NSDDEs和SFDEs的研究背景、研究现状和所取得的成果以及本文的主要工作,并且给出了本文中的符号说明。在第二章,阐述了随机分析以及分数微积分理论的基础知识,以方便本文的研究。在第三章,针对NSDDEs,提出了分裂步θ(SST)方法。对于θ∈[0,1],在漂移和扩散系数分别关于延迟量具有高度非线性的条件下,我们证明了SST方法的强收敛性和强收敛阶为12。最后,根据数值试验说明了理论分析的正确性。在第四章,对于SFDEs,首先提出了Euler-Maruyama(EM)方法;然后,在漂移和扩散系数分别都满足全局Lipchitz和线性增长条件下,当α∈(12,1]时,证明了EM方法的强收敛性和强收敛阶为α-12;最后,利用数值试验验证了获得的相应理论结果。
【关键词】：中立型随机延迟微分方程 随机分数阶微分方程 分裂步θ方法 Euler-Maruyama方法 强收敛性
【学位授予单位】：湘潭大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.81
【目录】：

• 摘要5-6
• Abstract6-9
• 第一章 绪论9-12
• 1.1 研究背景和现状9-10
• 1.2 本文的主要工作10-11
• 1.3 主要符号说明11-12
• 第二章 预备知识12-16
• 2.1 随机分析基础知识12-14
• 2.2 分数微积分理论基础知识14-16
• 第三章 中立型随机延迟微分方程的分裂步θ方法16-34
• 3.1 引言16-17
• 3.2 p阶矩有界性估计17-24
• 3.3 分裂步θ方法的强收敛阶24-30
• 3.4 数值试验30-34
• 第四章 随机分数阶微分方程的Euler-Maruyama方法34-46
• 4.1 引言34-35
• 4.2 数值解的矩有界性估计35-40
• 4.3 Euler-Maruyama方法的强收敛阶40-43
• 4.4 数值试验43-46
• 结论和展望46-47
• 参考文献47-52
• 致谢52

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本文编号：505656