施图姆—刘维尔特征值问题的总结

发布时间：2017-08-07 11:01

  本文关键词：施图姆—刘维尔特征值问题的总结

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【摘要】：施图姆-刘维尔问题作为解决波动方程和热传导方程等数学物理方程定解问题的基础,其应用已广泛涉及数学物理、地球物理、量子力学等许多领域.特别是在量子力学中,它是描述微观粒子状态的基本数学手段[16].在解决弦的自由振动和细杆的热传导等问题的过程中,我们常常通过变量分离的方法,将问题转化成求解施图姆-刘维尔问题的本征值和本征函数.通常我们把具有形式(P(x)u'(x))'-Q(x)u(x)+λρ(x)u(x)=0, x∈[a,b]的二阶常微分方程叫做施图姆-刘维尔方程.如果将方程附加某些齐次边界条件,就构成了施图姆-刘维尔系统的本征值问题.本文的主要工作是总结了施图姆-刘维尔特征值问题的一些结论,如解的渐进行为和在微小扰动下特征值的估计,在不同边值条件下的Hill型公式和迹公式,并在此基础上利用迹公式得到一系列恒等式.全文共分为六章：第一章介绍了施图姆-刘维尔问题的研究背景、问题的由来以及研究现状,Hill型公式和迹公式的背景.第二章总结了在解的参数或自变数很大的时候解的渐进行为,以及在微小扰动下对特征值和特征向量的估计.第三章和第四章中则分别介绍了在周期型边界条件和分离型边界条件下的迹公式和Hill型公式.在第五章中,利用施图姆-刘维尔系统的迹公式得到一些恒等式.
【关键词】：边值条件 特征值 Hill型公式 迹公式
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.6
【目录】：

• 中文摘要6-7
• 英文摘要7-9
• 第一章 引言9-14
• §1.1 施图姆-刘维尔问题的物理背景9-12
• §1.2 Hill型公式与迹公式的历史背景12-13
• §1.3 主要内容13-14
• 第二章 解的渐进行为及在微小扰动下的估计14-21
• §2.1 施图姆-刘维尔方程解的渐进行为14-16
• §2.2 微小扰动下特征值和特征函数的估计16-21
• 第三章 施图姆-刘维尔系统的周期型边界条件21-29
• §3.1 周期型边界条件下的Hill型公式21-25
• §3.2 周期型边界条件下的迹公式25-29
• 第四章 施图姆-刘维尔系统的分离型边界条件29-36
• §4.1 分离型边界条件下的Hill型公式29-33
• §4.2 分离型边界条件下的迹公式33-36
• 第五章 由迹公式得到恒等式的一些例子36-43
• 参考文献43-45
• 致谢45-46
• 学位论文评阅及答辩情况表46

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本文编号：634266