两类积分方程Λ有界变差解的存在唯一性

发布时间：2017-08-18 13:11

  本文关键词：两类积分方程Λ有界变差解的存在唯一性

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【摘要】：积分方程是近代数学的一个重要分支.积分方程理论发展始终与数学物理问题的研究紧密相联,它在工程、力学等方面有着极其广泛的应用.在现实世界中,许多积分方程的解往往描述实际生活中的物理现象,而其解经常为A有界变差函数.因此研究积分方程的A有界变差解是积分方程理论的一个重要方向.考虑到在自然界和许多技术科学中,存在大量分数阶导数的事实.由此,本文主要研究非线性积分方程、带分数阶导数的非线性积分方程的ABV解的存在唯一性.具体安排如下：第一章主要介绍积分方程ABV解、带分数阶导数积分方程解的研究概况,以及人有界变差函数和分数阶导数的一些概念的历史背景.阐述A有界变差函数与分数阶导数在各个领域中的广泛应用,及其深刻物理背景和理论内涵.第二章从具体积分方程的ABV解在物理领域中的实际意义出发,得到一类推广的非线性积分方程.在ABV(I)上,由所定义的算子G为压缩映射,利用Banach压缩映射原理证明该类积分方程ABV解的存在性.同时,定义映射P,其满足利普希茨条件,F'为高阶叠加算子,因此,由Lovelasy不动点原理得到其解的唯一性定理的证明.主要结果如下：定理2.2.1在方程(1.3.1)中,若满足以下条件：(1)夕：I→R为ABV函数；(2)q(s)为有界函数,|q(s)|≤K,K为常数;(3)ρ(s)为有界函数,|p(s)|≤L,L为常数；(4)F:I×I→R,且对几乎处处s∈I,有VΛ(K(·,s):I)≤M(s)其中函数M：I→R+、F(·,s)勒贝格可积；(5)记F'(x)(t)=f(t,x(t)),f(0,0)=0且f(t,x(t))存在关于x(t)的连续偏导数,(?)f/((?)x(t))|t=0=0;则存在λ,ζ,η0,使得ω2λ,g∈BΛ(0,η)时,方程(2.1)存在唯一ABV解x(t)∈BΛ(0,ζ).第三章在前一章的基础上,通过引入Caputo分数阶导数的概念,得到一类带分数阶导数的非线性积分方程.在A有界变差函数的前提下,定义连续的函数空间E及A算子,利用Schauder不动点定理证明了该类积分方程的ABV解的存在性.同时,由H(x)(t),f(t,x(t))满足Lipschitz条件得到其解的唯一性定理的证明.主要结果如下：定理3.2.1如果F:I×I→R满足定理2.2.1中的条件(4),ρ(s)满足条件(3),q(s)满足条件(2),f(t,x(t))有界,则方程(3.1)存在连续ABV解x(t)∈C[0,h]∩L1[0,h],且Dqx(t)∈C(Ⅰ)∩L1(I)定理3.2.2在定理3.2.1的条件下,若H(x)(t),f(t,x(t))满足Lipschitz条件：|H(x)(t)-H(x)(t)|≤L'|x(t)-x(t)|. |f(t,x(t))-f(t,x(t))|≤L"|x(t)-x(t)|.则方程(3.1)存在唯一连续ΛBV解x(t)∈X[0,h]∩L1[0,h],且Dqx(t)∈C(I)∩L1(I).
【关键词】：积分方程 分数阶导数 Λ有界变差函数 解的存在唯一性 压缩映射 不动点
【学位授予单位】：广西师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175.5
【目录】：

• 中文摘要3-5
• 英文摘要5-8
• 第一章 绪论8-13
• §1.1 积分方程ABV解的历史背景及研究现状8-9
• §1.2 带分数阶导数积分方程解的发展概况9-11
• §1.3 预备知识11-13
• 第二章 Λ有界变差函数空间上的积分方程13-17
• §2.1 基本定义和引理13-14
• §2.2 非线性积分方程ABV解的存在唯一性14-16
• §2.3 小结16-17
• 第三章 带分数阶导数的积分方程17-23
• §3.1 基本定义和引理17
• §3.2 非线性积分方程ABV解的存在唯一性17-22
• §3.3 小结22-23
• 参考文献23-26
• 致谢26-27

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本文编号：694744