自守L-函数的高次积分均值估计

发布时间：2017-08-20 17:02

  本文关键词：自守L-函数的高次积分均值估计

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【摘要】：设Γ=SL2(Z)是完全模群,H为上半复平面.拉普拉斯算子关于L2(Γ\H)的谱分解有如下形式其中C是常函数构成的空间,C(Γ\H)是Maass尖形式空间,ε(Γ\H)是由不完整的艾森斯坦级数生成的空间. 令u={uj:j≥1}是在C(Γ\H)空间中具有拉普拉斯特征值1/4+tj2(tj≥0)的Hecke-Maass形式的一组标准正交基.那么uj具有如下形式的傅里叶变换其中ρj(1)≠0,λj(n)是Hecke算子Tn的第n个特征值,是Whittaker函数,且Ks(y)是K-Bessel函数,其中s=1/2+it,e(z)=e2πix. 为了方便,在本文中,我们令f是具有拉普拉斯特征值1/4+v2的Maass形式,将f正规化,使其傅里叶系数首项为1,则f的傅里叶展开式为我们定义关于f的L-函数为当Re s1时,级数收敛([6]),L(s,f)满足函数方程,并且可以解析延拓到整个复平面([1]).应用K.Chandrasekharan和R.Narasimhan([2])中的一个定理,我们可以得到由柯西不等式,我们有这个上界是引理2.5成立的条件.定义αf(p)和βf(p)为则L(s,f)可化为广义Ramanujan猜想([8])是关于这一猜想,目前最好的结果是由Kim和Sarnak([10],[11])得到的：由此,我们可以得到其中是除数函数. 当1/2σ1时,我们定义m(σ)(≥2)为满足下面式子的所有m(≥2)的上确界其中《-常数依赖于f和∈.自然地,我们要找m(σ)的下界,这在f的傅里叶系数的均值估计中有一些应用.1989年,A.Ivic([4])对全纯尖形式对应的L-函数研究了类似的问题,并且得到当1/2σ≤5/8时,m(σ)的下界为2/3-4σ 在本文中,我们再研究当σ∈(1/2,1)时Maass尖形式对应L-函数m(σ)的结果,其中当1/2σ≤5/8时,我们将得到和全纯尖形式中一样的结果,不同点是我们不知道Mass尖形式对应的Ramanujan猜想是否成立,这就为我们在利用引理2.11和引理2.12中求下界时增加了困难.当5//σ≤1-∈时,m(σ)要比在ζ(s)中的结果稍差一些,这是因为在ζ(s)的情形,我们能够运用指数和(指数对)理论,而在L(s,f)中却不可以. 定理1.1.m(σ)如上式中所定义,当1/2σ1时,我们有应用定理1.1,我们还给出L(s,f)的2阶,4阶以及6阶的渐近公式. 定理1.2.对任意的∈0,当1/2σ1时,我们有其中是关于λf和它本身的Dirichlet卷积；(1.2)式,(1.3)式和(1.4)式分别在1/2σ1,5/8σ1时成立.
【关键词】：高阶 自守形式 L-函数
【学位授予单位】：山东师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O156.4
【目录】：

• 摘要5-8
• ABSTRACT8-11
• 符号说明11-12
• §1 引言12-14
• §2 基本引理14-24
• §3 定理的证明24-30
• §3.1 定理1.1的证明24-28
• §3.2 定理1.2的证明28-30
• 参考文献30-32
• 攻读学位期间发表学术论文目录32-33
• 致谢33

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本文编号：707786