几类边值方法的稳定区域分析

发布时间：2017-08-30 05:12

  本文关键词：几类边值方法的稳定区域分析

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【摘要】：微分方程作为数学分支之一,在科技、经济和人文等一些领域有着十分广泛的应用。但实际上即使对于很简单的微分方程,有时其求解也相当复杂。在一些实际问题中,有时并不需要求解微分方程的精确解,只需要得到数值解。此时,数值解法就具备十分重要的应用价值。关于微分方程数值方法的研究有Euler法、Runge-Kutta法和线性多步法等。线性多步法作为一种简单且方便的数值方法,曾一度引起学者的广泛研究。随着对线性多步法的深入探索,其难以克服的缺陷也亟待解决。因此,边值方法应运而生。作为线性多步法的一种推广,边值方法很好地克服了多步法的缺陷,并以其良好的稳定性质广受关注。本文主要针对三步和四步边值方法进行研究。首先,本文简单介绍了微分方程的来源,然后引入用来求解微分方程的边值方法,并给出它的研究现状。其次,根据方法阶定理,给出所要研究的三步和四步边值方法的差分格式,并结合二步边值方法用到的处理技巧,给出三步和四步边值方法中对应的稳定性定义。然后,本文主要讨论三步和四步边值方法的稳定区域和收敛性质。在讨论稳定区域的过程中,本文通过引入多项式型的概念,结合Schur多项式中的相关结论,给出了三步和四步边值方法中边值稳定的稳定条件;在讨论收敛性时,本文结合Toeplitz矩阵的相关性质和结论,证明了其收敛情况,并给出收敛阶。最后,本文对三步和四步边值方法给出数值算例。
【关键词】：微分方程 边值方法 收敛性 稳定性
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O241.82
【目录】：

• 摘要4-5
• ABSTRACT5-8
• 第1章 绪论8-13
• 1.1 课题背景及研究的目的和意义8-10
• 1.2 国内外在该方向的研究现状及分析10-11
• 1.3 本文主要研究内容11-13
• 第2章 边值方法的差分格式13-20
• 2.1 引言13
• 2.2 边值方法的差分格式构造13-17
• 2.3 边值方法的稳定性定义17-19
• 2.4 本章小结19-20
• 第3章 三步边值方法的稳定性和收敛性20-37
• 3.1 引言20
• 3.2 三步边值方法的稳定性20-28
• 3.2.1 三步边值方法的BV-零稳定20-21
• 3.2.2 三步边值方法的BV-稳定21-25
• 3.2.3 三步边值方法的BV-A稳定25-28
• 3.3 三步边值方法的收敛性28-31
• 3.4 数值算例31-36
• 3.5 本章小结36-37
• 第4章 四步边值方法的稳定性和收敛性37-52
• 4.1 引言37
• 4.2 四步边值方法的稳定性37-44
• 4.2.1 四步边值方法的BV-零稳定37-38
• 4.2.2 四步边值方法的BV-稳定38-42
• 4.2.3 四步边值方法的BV-A稳定42-44
• 4.3 四步边值方法的收敛性44-48
• 4.4 数值算例48-51
• 4.5 本章小结51-52
• 结论52-53
• 参考文献53-57
• 致谢57

【参考文献】

中国博士学位论文全文数据库 前1条

1 陈浩;离散与分布型延迟系统的块边值方法[D];华中科技大学;2012年

中国硕士学位论文全文数据库 前1条

1 汪洋;比例微分方程边值方法的数值稳定性[D];哈尔滨工业大学;2013年

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本文编号：757427