高斯创立内蕴微分几何学的思想及影响

发布时间：2017-08-30 22:00

  本文关键词：高斯创立内蕴微分几何学的思想及影响

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【摘要】：内蕴微分几何在微分几何的发展历史上具有举足轻重的地位.它的创立将欧氏几何推广到了曲面上“弯曲”的几何,成为黎曼提出黎曼几何的前奏.内蕴微分几何只关心几何对象依赖于曲面本身的性质,而不依赖于外围的空间.内蕴微分几何的创立者是德国数学家高斯.高斯从1816年起,在大地测量工作的基础上,于1827年发表了《曲面的一般理论研究》,在这篇论文中,他精辟地阐述了微分几何学的一系列全新的概念和定理,提出了“曲面本身就是一个空间”的伟大断言,从而一举建立了内蕴微分几何学,为微分几何学向高维的发展开拓了一个全新的领域.所以,对高斯内蕴微分几何思想的研究,不仅有利于深入挖掘高斯在曲面论方面的创新之处,而且能够找到现代微分几何的源头,为其后的发展提供历史依据.鉴于此,本文在查阅、研读、分析了高斯1827年的原始文献的基础上,借以相关的历史研究文献,探索了高斯创立内蕴微分几何学的过程,系统分析了他的内蕴思想.从而对于内蕴微分几何学以及整个微分几何学的发展有了一个全面、深入的理解.主要结果如下:1.全面概述了高斯创立内蕴微分几何之前,欧拉、蒙日等数学家在三维空间的曲面理论上所做的工作,指出他们的工作为高斯创立内蕴微分几何学奠定了基础.2.系统研究了高斯创立内蕴微分几何学的过程及其内蕴思想.重点分析了高斯曲率等概念,总结了高斯的内蕴微分几何学的基本思想,明晰了这些思想在微分几何的后续发展中的深远意义.3.深入分析了高斯内蕴微分几何思想的影响.点明了高斯的“绝妙定理”对19世纪中期微分几何学的中心问题—可贴合性问题的推动作用.最后深入剖析了黎曼是如何在高斯内蕴思想的影响下,开创黎曼几何的,进而更加明确了高斯内蕴微分几何的重要地位.
【关键词】：高斯 内蕴微分几何学 高斯曲率 绝妙定理 高斯-博内定理
【学位授予单位】：河北师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O186.1
【目录】：

• 摘要4-5
• Abstract5-9
• 引言9-13
• 第一章 高斯以前的曲面微分几何学13-17
• 1.1 三维空间中的曲面理论13-15
• 1.2 曲率—曲面的度量15-17
• 第二章 高斯的内蕴微分几何学17-33
• 2.1 高斯创立内蕴微分几何学的前期工作17-21
• 2.1.1 大地测量学18-19
• 2.1.2 哥本哈根获奖论文19-21
• 2.2 高斯内蕴微分几何学的创立—1827 年《曲面的一般理论研究》21-25
• 2.2.1 1827年论文的内容简介与版本变迁22-24
• 2.2.2 与1825年《曲面的新研究》之比较24-25
• 2.3 高斯1827年论文中的内蕴微分几何学思想25-33
• 2.3.1 高斯曲率26-28
• 2.3.2 绝妙定理28-31
• 2.3.3 其他内蕴思想31-33
• 第三章 高斯内蕴微分几何学的影响33-41
• 3.1 曲面的“可贴合性”问题33-36
• 3.2 高维的推广—黎曼几何学36-41
• 3.2.1 黎曼的空间观念36-37
• 3.2.2 黎曼几何37-41
• 结论41-43
• 参考文献43-47
• 后记47

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本文编号：761696