非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性及数值解法研究
发布时间:2017-09-21 09:16
本文关键词:非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性及数值解法研究
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【摘要】:常微分方程的边值问题已经成为微分方程学科的重要组成部分之一.它的研究最初是由19世纪30年代Sturm和Liouville对二阶线性方程的边值问题求解开始的.边值问题在工程学、金融等领域有着重要的应用,是现代科学技术中分析和解决问题的强有力工具.而解的存在性是边值问题研究的重要课题,首先要弄清楚微分方程解的存在性和解的个数,然后再求方程的数值解并将其应用到实际问题中.本文主要对二阶非线性Sturm-Liouville边值问题进行研究,利用Green函数构造与微分方程等价的积分算子方程,接下来将微分方程解的存在性问题转化为研究其相应的积分算子在Banach空间中锥上的不动点存在问题.再利用锥上的不动点定理,同时结合拓扑度的相关结果证明二阶非线性Sturm-Liouville边值问题正解的存在性.本文的结构如下:第一章绪论部分介绍了Sturm-Liouville边值问题的基本知识和研究现状,给出了本文将要用到的部分重要定义和引理.同时介绍了一类二阶常微分方程边值问题的Green函数求法.第二章研究了非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性.首先,通过限制非线性项的上下极限,在非线性项非负的情况下证明了非线性Sturm-Liouville边值问题的正解存在性.然后,通过改进二阶非线性常微分方程边值问题的存在性条件,突破了非线性项非负的局限,在带参数的情况下,得到了非线性项可变号时解的存在性结果.最后,证明了非线性Sturm-Liouville边值问题的多解性.第三章在理论证明的基础上,将求微分方程的数值解转化为求Hammerstein型积分方程的数值解.首先简单介绍了非线性常微分方程边值问题的常用数值解法和非线性积分方程的分类.然后在原有迭代法的基础上,对迭代项进行修正,使迭代速度更快.最后给出具体算例并用Matlab软件求出方程的数值解.通过与原来的迭代法比较,说明新的加速法确实有效.第四章是本文的总结和展望.
【关键词】:Green函数 Sturm-Liouville边值问题 正解 Hammerstein积分方程 数值解
【学位授予单位】:南京财经大学
【学位级别】:硕士
【学位授予年份】:2015
【分类号】:O241.81
【目录】:
- 摘要4-5
- ABSTRACT5-8
- 第一章 绪论8-19
- 1.1 研究背景及现状8-10
- 1.2 本文的主要工作和创新10
- 1.3 本文常用定义和引理10-12
- 1.4 一类二阶常微分方程边值问题的Green函数求法12-19
- 1.4.1 预备知识12-13
- 1.4.2 周期边界条件下的Green函数及证明13-16
- 1.4.3 方程在另外几种边界条件下的Green函数16-19
- 第二章 非线性Sturm-Liouville边值问题正解存在性19-35
- 2.1 非线性项非负的Sturm-Liouville边值问题的正解存在性19-23
- 2.1.1 预备知识19-20
- 2.1.2 主要定理及证明20-23
- 2.2 非线性项可变号的Sturm-Liouville边值问题的正解存在性23-30
- 2.2.1 预备知识24-25
- 2.2.2 主要定理及证明25-30
- 2.3 非线性项可变号的Sturm-Liouville边值问题的多解存在性30-35
- 2.3.1 预备知识30-32
- 2.3.2 主要定理及证明32-35
- 第三章 数值解法及算例35-40
- 3.1 非线性常微分方程的数值解法35
- 3.2 非线性Fredholm积分方程的分类35-36
- 3.3 第二类Hammerstein型Fredholm积分方程的数值算法36-40
- 第四章 总结和展望40-41
- 4.1 主要研究结论40
- 4.2 本文研究的局限性及研究展望40-41
- 附录41-48
- 参考文献48-51
- 攻读硕士期间发表的学术论文51-52
- 后记52
【参考文献】
中国期刊全文数据库 前1条
1 姚庆六;;非线性Sturm-Liouville问题的一个正解存在定理[J];华东师范大学学报(自然科学版);2009年01期
,本文编号:893638
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