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永磁电机中永磁体数学模型的分析

发布时间：2016-08-20 09:46

本文关键词：永磁电机中永磁体数学模型的分析，由笔耕文化传播整理发布。

永磁电机中永磁体数学模型的分析

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刘瑞芳，胡敏强，严登俊

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(东南大学，江苏南京210096)

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摘要：永磁体的数学模型的确定是永磁电机磁场计算中的关键。文中从电磁场基本理论出发，导出了永磁体在任意复杂形状下，不同磁化方向(平行磁化、径向磁化、圆周方向磁化)时永磁体边界上等效电流的计算方法，为永磁电机电磁场分析计算奠定了基础。

关键词：永磁电机；永磁体；数学模型

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1 引言

近年，随着高性能永磁材料的发展，永磁电机得到了迅猛的发展和广泛的应用。合理的确定永磁体结构尺寸和准确计算电机的参数是设计高性能永磁电机的关键，传统的基于磁路模型的电机设计技术已经不能完全满足这一需要，采用电磁场的数值分析显得更为重要。

永磁电机电磁场计算首先要建立永磁体的数学模型。以往的文献中针对特定形状的永磁体在平行磁化和径向磁化的情况建立了数学模型分析［1，2］。但是由于永磁电机中永磁体的形状复杂多样，永磁体与其它媒质交界面曲直交错，并且随着永磁材料和电机技术的发展，会不断出现新的结构，不规则形状的永磁体，在永磁电机的优化设计中也需要对磁钢的形状进行不断的修正，以达到最佳的性能指标，这样在永磁电机有限元计算程序中需要能够处理任意形状的永磁体，这也是永磁电机计算软件实现通用性所必须解决的问题。实际中永磁体除径向磁化和平行磁化外，还有圆周方向磁化。在文献［3］中讨论了径向磁化和平行磁化下任意永磁体边界的数学模型，但是没有论及圆周方向磁化。本文将从电磁场基本理论出发，讨论永磁体在任意形状下，不同磁化方向(平行磁化、径向磁化以及圆周方向磁化)时等效电流的计算，并且改进和完善文献［3］中径向磁化永磁体在任意边界下的数学模型。

2 永磁电机中永磁体的数学模型

2.1 永磁体的电流等效

经预先磁化的永磁体，其特性满足：

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B=μ0μrH+μ0Mr (1)

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式中H——永磁体工作点的磁场强度

B——永磁体工作点的磁感应强度

μr——相对回复磁导率

Mr——剩余磁化强度

由式(1)可知，在去磁曲线上，当B=Br时，H=0，可得剩余磁化强度Mr的大小为Mr=Br/μ0。

对式(1)两端取旋度，并考虑永磁体内无宏观电流，rotH=0，则有rot(B/μ0μr)=rot Mr/μr。

上式右端具有电流密度的量纲，它体现了永磁体的励磁作用。如果永磁体被均匀磁化，磁体内部各点上Mr的大小和方向都相同，永磁体内的等效电流密度都为零，而在平行于Mr的永磁体侧面上有一层等效面电流Js。二维场中，Js只有Z轴分量，图1永磁体边界法线方向等效面电流密度为：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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式中n——永磁体边界外法向单位矢量

在有限元计算中，对任意形状永磁体，只要求出相应边界处的法线方向和磁化强度方向，就可以求出等效电流的大小。下面先来计算边界的法线方向。

在剖分产生的永磁体边界信息中，要按逆时针方向记录每一条永磁体边界，从而保证每边界的法向指向永磁体的外部。设有一属于永磁体的单元，其中边P1P2为永磁体与其他媒质的交界边，如图1所示，方向由P1指向P2，P1点坐标为(X1，Y1)，P2点坐标为(X2，Y2)，则P1P2的单位法向矢量为：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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对于不同的永磁体磁化方式，磁化强度方向的计算是不同的。

2.2 不同磁化方式下磁化强度和等效电流的计算

永磁体的磁化方向有平行磁化、径向磁化和圆周方向磁化，如图2所示。图2a为永磁直流电机凸极径向式磁极结构，永磁体为平行磁化；图2b为永磁直流电动机瓦片形磁极结构，永磁体为径向磁化或平行磁化；图2c为2极永磁直流电机弧形磁极结构，永磁体为圆周方向磁化。

(1)对于平行磁化的永磁体，磁化方向为已知。设磁化方向为X轴正方向的夹角β，则磁化强度为：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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(2)对于径向磁化的永磁体，在边界P1P2上各点的磁化方向为径向，即各点处磁化方向都是变化的。在文献［3］中，考虑了这种各点处磁化方向的变化，这时等效电流密度在一个单元内的边界上也是变化的。采用这样的处理在组成方程组进行总体合成时，所对应的内部交界条件的处理非常复杂。实际上由于区域剖分离散后每一条单元的边界的尺寸都很小，可以认为在每一单元的等效电流密度为常量，磁化强度为常量。我们用P1P2边界中点处的磁化强度方向表示这个单元的平均磁化强度方向。对于瓦片形磁极的圆弧边界部分，径向磁化时磁化方向和边界的法向在同一条直线上，由式(2)可知，曲线边界上的等效电流为0。由于剖分离散后用直线来代替了原来的曲线，采用边界平均磁化方向进行计算时，磁化方向和边界法向都是径向方向，在一条直线上，得到的等效电流为0。但是如果按照文献［3］中考虑边界上各点处磁化方向的变化时，各点的磁化方向和边界法向不总在一条直线上，得到的边界上的等效电流反而不为0，与实际情况不符。同样对于瓦片形永磁的直线部分，采用平均磁化强度方向进行计算时，得到的等效电流密度情况也是与实际相符的。

在径向磁化中，应当分两种情况来考虑。图3a为两极瓦片形永磁电机的径向磁化模型。上面的瓦片形磁体的磁化方向是由圆心指向瓦片，下面的瓦片磁体的磁化方向是由瓦片指向圆心。对于多对极电机而言，相邻磁极的磁化方向总是一个指向磁化圆心，另一个背离磁化圆心。这两种情况下磁化强度方向的计算是不同的，但是文献［3］中没有指出这一点。下面就分两种情况进行分析。

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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设磁化的圆心P0的坐标为(X0，Y0)，通常是电机的圆心，P1P2边界中点P的坐标为(Xc，Yc)，其中Xc=(X1+X2)/2，Yc=(Y1+Y2)/2。设l0为P0P

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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b.当磁化方向是由P点指向磁化圆心时，P点处磁化强度方向为PP0方向，如图3c所示，磁化强度为：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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(3)对于沿着圆周方向磁化的弧形永磁体，由图2c可以看出，相邻磁极的磁化方向是相反的。若左侧磁体的磁化方向为顺时针方向，则右侧磁体磁化方向为逆时针方向。方向不同磁化方向的计算也有所不同。已知磁化圆心P0的坐标为(X0，Y0)，单元边界的中点为Pc，该点处的磁化方向为以磁化圆心为圆心，P0P为半径的圆上P点处的切线的方向。可以用这个磁化方向表示单元的平均磁化方向。

<![if !supportLists]>a. <![endif]>对于逆时针方向磁化的永磁体，磁化强度为：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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这样就可以求出永磁体在平行磁化、径向磁化和圆周方向磁化下任意边界形状的等效电流。

2.3 永磁励磁的内部交界条件的处理

在均匀磁化的永磁体模型下，永磁体和其他媒质的分界线上有面电流，当磁场用矢量磁位求解时，媒质交界条件体现为泛函的一项线积分，如同第二类非齐次边界条件一样［4］。从电磁场基本理论出发，可以导出，在单元分析时，对于属于永磁材料的永磁边界单元，在总体合成的节点方程组右端项对应交界节点P1、P2的位置需加入下述分量：

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永磁电机中永磁体数学模型的分析

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将所求出的单元平均等效电流密度值代入，就可以求出Q1、Q2。只要对永磁边界处理一次。永磁的处理就得以自动实现。

3 计算实例

实际应用中，在前处理进行单元剖分时对永磁和其他媒质的交界边界作记录。输入永磁体媒质材料特性数据时，除了输入计算剩磁密度、回复磁导率外，还要对每一块永磁体按不同的磁化方式给出相应的参数。对平行磁化，给出磁化方向与坐标轴的夹角；对径向磁化，给出磁化圆心点的坐标并指出磁化是指向圆心或背离圆心；对圆周方向磁化的弧形磁极，要指出磁化方向是顺时针，还是逆时针。在有限元计算程序中，对属于永磁体的且处于永磁交界的单元进行内部交界条件的处理。程序根据永磁体材料所给出的信息进行判断，然后按照前面给出的方法进入相应的计算。得到单元边界相应的面电流密度和Q1、Q2，然后叠加到矩阵相应的位置上。这样程序可以对不同磁化方式、任意复杂形状的永磁体进行处理，使得程序有很强的通用性。

根据上述方法采用自行编制的有限元计算程序对几种不同结构的永磁电机进行计算。图4～7为4种永磁直流电动机的空载磁场分布图。图4为矩形磁极的永磁直流电动机，永磁体为平行磁化，磁化方向为平行于永磁体的侧面。从空载磁场的分布来看永磁体内的磁力线平行与两个侧面，与实际情况相符。图5为瓦片形磁极永磁直流电动机，永磁体平行磁化，空载磁场图中永磁体内磁力线都是平行的。图6也是瓦片形磁极的永磁直流电动机，永磁体被径向磁化。从磁力线分布可以看到，永磁体内磁力线都是沿着径向辐射的。图7为2极弧形磁极的永磁直流电动机，永磁体为圆周方向磁化。从磁力线分布可看到，在永磁体中磁力线的走向是圆周方向的。从以上分析可以看出，，所采用的永磁体的计算模型是合理的。

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永磁电机中永磁体数学模型的分析