非全局Lipschitz条件下随机微分方程数值方法的强收敛性和稳定性

发布时间：2017-03-19 14:00

  本文关键词：非全局Lipschitz条件下随机微分方程数值方法的强收敛性和稳定性，，由笔耕文化传播整理发布。

【摘要】：随机微分方程在经济、生物、医学、金融和工程等很多领域有着极其广泛的应用。然而这类方程极少能得到解析解,因此很有必要构造数值方法求解。本文构造了两类数值方法：分裂步(θ1,θ2,θ3)方法和高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,这些方法包含很多经典的方法,如：Euler方法、分裂步θ方法、分裂步单支θ方法、随机θ方法、向后Euler方法、分裂步向后Euler方法、Milstein方法、漂移分步向后Milstein方法和随机θ-Milstein方法等。我们在非全局Lipschitz条件下,研究方法的强收敛性和均方稳定性。论文分为六部分： 第一章,我们先介绍随机微分方程、随机延迟微分方程、带泊松跳的随机微分方程的应用背景,回顾随机问题数值分析的一些基本概念和常用不等式,然后概述数值方法收敛性研究现状,并给出本文的工作概要。 第二章提出分裂步(θ1,θ2,θ3)方法,对漂移项系数满足单边Lipschitz条件、扩散项系数满足Lipschitz条件的非线性非自治系统研究方法的强收敛性,证明当θ2≥1/2时方法是均方收敛的；如果漂移项系数进一步满足多项式增长条件,则其均方收敛阶是1/2。同时还得到方法的均方稳定性结果。在此基础上,进一步将上述结果推广到带跳的随机微分方程情形。 第三章在较弱条件下进一步证明了补偿分裂步(θ1,θ2,θ2)方法的强收敛性,更准确的说,所要求的条件漂移项系数和扩散项系数都满足局部Lipschitz条件、带跳扩散项系数满足全局Lipschitz条件以及它们满足一组合单调性条件。这些条件允许扩散项系数是高度非线性的。 第四章把分裂步(θ1,θ2,θ3)方法扩展到用于求解随机延迟微分方程。在扩散项系数和漂移项系数都满足局部Lipschitz条件和组合条件下,我们得到该方法的强收敛性。特别地,这些条件允许扩散项系数是高度非线性的。 第五章在前面方法基础上提出高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法并用来求解由非交换噪声驱动的非自治随机微分方程。在漂移项系数满足多项式增长和单边Lipschitz条件而扩散项系数满足线性增长的条件下,证明了该方法是1阶强收敛的。 第六章研究高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的均方稳定性。在适当步长的限制下,得到高阶分裂步(θ1,θ2,θ3)方法的线性均方稳定性和非线性均方指数稳定性结果。随后进一步研究θ2=θ3的特殊情形,对实系数线性方程证明当θ2≥3/2时,高阶分裂步(θ1,θ2,θ2)方法是无条件均方稳定的；对漂移项和扩散项系数满足一个较弱的组合条件的非线性方程,证明当步长适当小时方法是均方指数稳定的。
【关键词】：随机微分方程 带泊松跳的随机微分方程 随机延迟微分方程 分裂步(θ_1 θ_2 θ_3)方法 高阶分裂步(θ_1 θ_2 θ_3)方法 强收敛性 均方稳定性 均方指数稳定性
【学位授予单位】：华中科技大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：C81
【目录】：

• 摘要4-6
• Abstract6-10
• 1 绪论10-22
• 1.1 研究背景及来源10-13
• 1.2 基本概念和公式13-16
• 1.3 随机微分方程数值方法的收敛性分析16-17
• 1.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法17-18
• 1.5 本文的主要工作18-22
• 2 非线性非自治随机微分方程的分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法22-52
• 2.1 引言22-23
• 2.2 随机微分方程解的存在唯一性23-24
• 2.3 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的矩性质24-27
• 2.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的强收敛性27-33
• 2.5 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的强收敛阶33-37
• 2.6 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的均方指数稳定性37-39
• 2.7 分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法求解泊松跳随机微分方程39-41
• 2.8 数值实验41-46
• 2.9 本章小结46-52
• 3 单调条件下补偿分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的收敛性52-64
• 3.1 引言52-53
• 3.2 带泊松跳的随机微分方程解的存在唯一性53-55
• 3.3 补偿分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法矩性质55-57
• 3.4 补偿分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的收敛性57-62
• 3.5 数值实验62-63
• 3.6 本章小结63-64
• 4 非线性随机延迟微分方程的分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法64-80
• 4.1 引言64
• 4.2 随机延迟微分方程解的存在唯一性64-67
• 4.3 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的矩性质67-69
• 4.4 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的强收敛性69-75
• 4.5 分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的指数均方稳定性75
• 4.6 数值实验75-78
• 4.7 本章小结78-80
• 5 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的收敛性80-120
• 5.1 引言80-81
• 5.2 随机微分方程解的存在唯一性81-82
• 5.3 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的矩性质82-96
• 5.4 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的收敛阶96-110
• 5.5 数值实验110-118
• 5.6 本章小结118-120
• 6 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的稳定性120-132
• 6.1 引言120
• 6.2 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的线性均方稳定性120-122
• 6.3 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_3)方法的非线性均方指数稳定性122-124
• 6.4 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的线性均方稳定性124-126
• 6.5 高阶分裂步(θ_1,θ_2,θ_2)方法的非线性均方指数稳定性126-129
• 6.6 数值实验129-131
• 6.7 本章小结131-132
• 7 总结与展望132-133
• 致谢133-134
• 参考文献134-142
• 攻读学位期间发表和完成的论文目录142

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本文编号：256111