基于数学史料的高中数学问题编制策略

发布时间：2020-11-15 22:46

　　 正1引言近年来,随着HPM视角下课例研究的深入开展以及一系列相关课例的发表,越来越多的数学教师开始关注HPM的教学理念、教育价值和教学策略.一般说来,数学教学中运用数学史料的方式有附加式、复制式、顺应式和重构式~([1]).除了附加式(介绍数学家的生平轶事、提供数学史阅读材料等)外,其他三种方式都与问题提出息息相
【部分图文】：

法（图５）解决过的无穷级数问题，??奥雷姆的结果是??丄－ｉ－Ａ－ｊ－Ａ－ｉ?ＬｉＬ－ｉ—＝？??２?２２?２３?２＂??图５奥雷姆的面积变换方法??从例１可见，从古代数学史料出发可以提出??有若干问题组成的问题串．而其中的某些问题本??身也可能是历史上别的数学家曾经解决过的问??题，因次，如果以别的史料为参照，这些问题可能??又会成为“复制式”或“条件式”问题了．??４．２抛物弓形的面积??古希腊数学家阿基米德在其《抛物弓形求积》??中解决了抛物弓形的面积问题．如图６所示，设??是抛物线的一条弦，阿基米德证明［１４］：??图６抛物弓形的性质??命题１：过抛物线上任意一点Ｐ作抛物线对??称轴的平行线，交ＡＢ与Ｃ，若平行于抛物线??在点Ｐ处的切线ＭＮ，则ＡＣ?＝?ＢＣ；反之，若ＡＣ??＝ＢＣ，则平行于抛物线在点Ｐ处的切??线ＭＮ．??命题２：Ｐ为抛物线上任意一点，直线ＡＢ与??抛物线在Ｐ处的切线ＭＮ平行，交抛物线于点Ａ??和Ｂ，过Ｐ作抛物线对称轴的平行线，交ＡＢ于点??Ｃ，交抛物线在点Ａ处的切线于点Ｔ，则ＰＴ??

角边分别为《??和６，则内接正方形边长为你觉得古人是如??（２?十??何得到这个结果的？（条件式）??问题６：已知直角三角形的直角边为５和１２，??求其内接正方形的面积．（目标式）??问题７：已知直角三角形内接正方形（与直角??三角形有公共直角）的边长为ｆｆ，斜边为１３，求直??角边．（对称式）??问题８：已知直角三角形的直角边为《和６，??试写出与直角三角形有公共直角的内接正方形的??边长与ａ和６之间的关系，据此证明均值不等式??链接式）??ａ十ｂ?２??问题９：如图１，若ＲｔＡＡＢＣ的两条直角边分??别为ａ和／；，正方形ＣＥＤＦ和ＭＮＰＱ为它的两个??不同的内接正方形，试比较￡ＣＦＤ和ｉＷＶＰＱ边??长的大小．（自由式）??Ａ?＾??图１勾股容方新问题??问题１０：如图１，正方形ＣＥＤＦ和ｉＷＶＰＱ内??接于同一个直角三角形ＡＢＣ，其面积分别Ｓ，和??Ｓ２，Ｚ?Ａ?＝?ａ．已知?Ｓ】＝４４１，Ｓ２?＝?４４０，求?ｓｉｎ２ａ．??（自由式）??３基于数学史料的高考题??３．?１复制式问题??高考数学卷中的“复制式”问题较多取自中国??古代数学名著《九章算术》和《数书九章〉〉，如《九章??算术》中的“九节均容”问题（２０１１年湖北文理??卷）、“委米依垣”问题（２０１５年全国课标Ｉ卷）、??《数书九章》中的“天池测雨”问题（２０１３年湖北文??科卷）、“米谷粒分”问题（２０１５年湖北文理卷）等．??２０１７全国ＩＩ卷采用了明代数学家程大位（１５３３—??１６０６）《算法统宗》中的问题：“远望巍巍塔七层，红??光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏??灯？”这是一道已由等比数列项数

作，将??原题中的不定方程组改编为一个适定的二元一次??方程组，故属于“条件式”问题．??３．３目标式问题??２０１７年浙江数学卷先介绍三国时代数学家??刘徽的割圆术以及祖冲之的贡献，然后提出数学??问题：我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以??估算圆周率７Ｔ，理论上能把Ｋ的值计算到任意精??度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将７Ｔ的值精确??到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割??圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面??积?Ｓｓ，Ｓｓ?＝??．??如图３所示，为圆内接正Ｗ边形的一边，??长为ａ？，ＡＣ?＝?ＢＣ是圆内接正２Ｗ边形的一边，??长为，则圆内接２？边形的面积为??Ｓ２？?＝?ｗＳ?革形?Ｑ４ＢＣ?＝?Ｗ?（ｊａｊ？?）?＝?？??图３割圆术??上述公式是割圆术的关键公式，刘徽利用该??公式证明了圆面积公式．为了求圆周率的近似值，??从？＝尺＝１尺出发，刘徽先计算出??ＳＩ２＝?＋?Ｘ６Ｘａ６Ｘｉ？?＝?３００（ｉ２），??再根据“倍边公式”??依次计算ａ１２，＾２４，二１８和Ａ６，相应计算出??１?１７５７??Ｓ２４＝音?Ｘ１２Ｘａ１２ＸＲ＝３１０＾（寸２），??１?１?＾１?４－Ｓ??Ｓ４８?＝?ｙＸ２４Ｘａ２ＪＸｌ？?＝?３１３＾（＾），??Ｓ９６?＝了Ｘ４８Ｘａ４８?Ｘｉ？?＝?３１３?（寸＿?），??Ｓｉ９２?＝?＾￣Ｘ９６Ｘａ９６Ｘ／？?＝?３１４?晶＾（寸』）？??显然，割圆术的第一步不是计算Ｓ６，而是计??算ｓ１２．因此，本题改变了割圆术中的目标，因而属??于“目标式”问题．如果将所求项改为ｓ１２，那么问??题就符合割圆术的原意，成为“复制式”
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