分形理论及其在经济管理中的应用

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２０ ０ ４年第 ３期　 总第 ｌ７期　 ｌ

河南 金融 管理 干部学 院学报　 Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ 　 Ｅ Ａ 　 Ｏ Ｌ Ｇ 　 ＦＦ Ｎ Ｎ Ｉ Ｌ Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ 　 Ａ Ｒ Ｓ Ｏ Ｒ Ａ 　 ＦＨ Ｎ Ｎ Ｃ Ｌ Ｅ Ｅ Ｏ 　 Ｉ Ａ ＣＡ 　 Ａ Ａ Ｅ Ｅ Ｔ Ｃ

Ｄ Ｅ 　

Ｎｏ ３ ２ ｏ 　 ．　 ０ ４ Ｓ ｒ ｌＮＯ． ｌ 　 ｅｉ ａ １７

【 济研 究 】 经 　

分 彩 理 论 厦 舆 在　
玄　

管 理 中 的 应 用　

（ 州 大 学 商 学 院 ， 南 郑 州 ４ ０５ ） 郑 河 ５０ ２　

摘

要 ： 形是 一种 复 杂的 几何 形体 ， 特征 是组 成部 分 以 某种方 式与 整体 相似 、 分 其 维数是 分 数 维 。分形 理论 诞 生 于　

２ ０世 纪 ７ ０年 代 中期 ， 已成为 复杂性 科 学的 重要 组成 部 分 ， 广 泛应 用 于 资本 市场 、 业管 理 、 市规 划 、 口研　 现 被 企 城 人 究等 诸 多领域 ， 如分 形 资本 市场理 论 、 形企 业管 理模 式 等的 应 用大 大提 高 了经 济管理 的 效率 。 分 　 关键 词 ： 形理 论 ； 维 ； 分 分 经济 管理　 中 图分 类 号 ：Ｉ０２ Ｆ２ ．　 文 献标 识码 ：　 Ａ 文章 编号 ：０ ８—７９ ２０ ０ ０ ６ ０　 １０ ７６（０４）３— ０６— ３

自２ ０世 纪 ７ ０年代 曼德 尔 布罗 特 （ ｎ ｅ ｒ ） Ｍａｄｌ ｏ 　 ｂｔ
提 出 分 形 几何 基 本 理 论 以 来 ， 过 ２ 经 ０多 年 的 发 展 ， 　 分 形 几 何 已 经 成 为 一 门 重 要 的 新 学 科 ， 被 广 泛 地　 并

一

种极其 简洁 的方法 。作 为 一个 全新 的概 念 ， 分形　 目前还没有一 个统 一 的 、 严格 的数 学定 义 。从 字 面　

上来说 ， 分形是指一类极其零碎而 复杂 ， 有其相似　 但 性或 自仿射性 的体 系。较 详细 的说 法 ， 将分 形看　 是 作具有如下 性 质 的集 合 ： １ 分 形集 都 具有 任 意小　 （） 尺度 下 的 比 例 细 节 ， 者 说 它 具 有 精 细 的 结 构 。 或 　 （） ２ 分形 集 是不 规则 的 ， 不能 用传 统 的几何 语 言来　 描述 ， 它既不 是满 足某 些条件的点 的轨迹 ， 不是某　 也 些简单方程 的解集 。（ ） ３ 分形集 具有 某种 自相 似 的　 形式 ， 能 是 近 似 的 自相 似 或 者 统 计 的 自相 似。 可 　 （） ４ 一般分形集 的分形 维数通 常大 于它相 应 的拓 扑　 维数 。（ ） 多数 令 人感 兴趣 的情 形下 ， ５在 分形 集 由 　 非常简单 的方法定 义 ， 可能 以变换 的迭代 产 生。例　 如， ? 冯 科契 （ ｏＫ ｃ ） Ｖ ｎ ｏｈ 曲线及康托尔 （ ａｔ ） Ｃ ｎｏ 三分　 ｒ
集 被 看 作 分 形 的 典 型 例 子 。分 形 结 构 所 具 有 的 这 些　

应用 于物理 、 化学 、 生物 、 材料 科学 、 算 机科学 、 计 天　 文、 气象 、 学 、 济 、 理 科 学 以及 艺术 等 众 多 领　 地 经 管 域 ， 为当今 国际上许多学科 的前 沿研究课题 之一 。 成 　 在经济领域 ， 多经济 学 家应用 分形 理论 来 解释 各　 许
种 纷 繁 复 杂 的 经 济 现 象 。 在 管 理 领 域 ， 形 理 论 的　 分

引入 ， 为管理科学 中许 多 问题 的解决 提供 了新 的行　
之 有 效 的途 径 。 　
一

、

分 形 的 基 本 概 念　

在经典 的欧几里德几何 中 ， 我们 可 以用线 和面 、 　
圆和球 、 和角等这一类规则的形状 去描述诸 如墙 、 锥 　

车轮 、 建筑 物等人造 物体 ， 因为这些 物体本 身就是 根　
据 欧 氏 几何 的 规 则 图形 生 成 的 。 然 而 ， 自然 界 中 ， 在 　

却存 在许多极其 复 杂 的形状 ， ： 、 、 如 山 云 闪电 、 海岸　 线 等 。长期 以来 ， 这类 不 连 续 、 光 滑 （ 可导 ） 对 不 不 　 的几何 形状 的描述没有得到人们 的足够 重视。为 了 　 描述 自然界中大量存在 的 、 过去被人们认为是 “ 不可　 名状 的” “ 或 病态 的” 几何 物体 ，９ ５年 ， 国哈佛大　 １７ 美 学数学 系教授 曼德尔布罗 特创造 了分形 （ ｒｃ １这　 Ｆａｔ ） ａ 个新术语 。１８ ９ ２年 ， 当曼 德尔 布 罗 特 的新作 《 自然　 界 中的分形几何 》 一书 出版后 ， 分形这一概念不 胫而　 走， 分形这朵数学 奇葩 为 物理组 织形 态描 述 提供 了 　
收稿 日期 ：０ ４— ３—１　 ２０ ０ ５

基 本性质 ， 明它不 是完 全混 乱或 毫无 规 则 的。 自 说 　 然界中的一 切形状及 现象都能 以较小或 部分 的细 节　 反映出整体 的不 规则性 。 　 在欧 氏几 何 中 ， 是零 维 的 ， 线是 一维 的 ， 点 直 平　 面是 二维 的 ， 立体是三维 的。换 言之 ， 确定 直线上 一　
个 点 的位 置 需 要 一 个 坐 标 ， 定 平 面 上 一 个 点 的 位　 确 置 需 要 两 个 坐 标 ， 定 空 间 中一 个 点 的 位 置 需 要 三　 确

个坐标 。用坐标 的个 数来 确定 几何 体 的维 数 ， 维数　 总是整数 。这种维数源 于勒 贝格 （ ｅｅｇｅ 测度及　 Ｌ ｂｓｕ ）

作者 简 介 ： 方元 （９２一） 男， 南商城 人 ， 州 大学 商 学院副 教授 ， 士 生导 师 ， 卢 １６ ， 河 郑 硕 西南 交通 大 学 经 济管 理 学 院在 读 博 士　
研 究生 ， 主要研 究方 向为数 量 经济 与金 融 工程 。 　
?

６ ? ６ 　

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【 济研究 】 经 　

卢方 元

分 形理论 及其 在经济 管理 中的应 用　

维 数 理 论 ， 无 法 反 映 具 有 自相 似 性 的 分 形 这 类 事　 它 物 的 几 何 特 征 。例 如 ， 尔 宾 斯 基 （ ｉｒｉｓｉ 三 角　 谢 Ｓｅｐｎｋ）

测 度 和维 数 。 　
（ ）９ ６年 至 １７ 二 １２ ９ ５年　

垫片是从一等边 三 角形 开始 进行 迭代 操作 ， 其 四　 将
等 分 ， 掉 中 心 的 那 部 分 ， 限 重 复 这 种 操 作 ， 终　 去 无 最 所 得 的 极 限 图 形 （ １ 。 它 既 不 是 欧 氏 几 何 的 曲　 图 ） 线 ， 不 是 平 面 ， 是 介 于 线 与 面 之 间 ， 维 数 为　 也 而 其

这 一 时期 ， 们 对 分 形 集 的 性 质 做 了 深 入 的 研　 人

究， 不仅形 成了理论 ， 而且将研究 范 围扩大 到 了数学　 的许多分支 。此 外 ， 数 理论 研究 也获 得 了丰 富 的　 维 成果 ， 出现 了 Ｂ ｕ ｇｎ ｏｌ ａｄ维 数 、 盖 维数 、 维数 等 。 ｉ 覆 熵 　
尽管在此阶段分 形 的研究 取得 了许 多重 要 的结 果 ， 　 但 是 绝 大 部 分 从 事 这 一 领 域 工 作 的 人 主 要 局 限 于纯　 数学理 论研究 ， 而未 与 其 他 学 科 发 生 联 系 。 　
（ ）９ ５年 至 今 　 三 １７

Ｄ＝ ｏ３ ｌ ２＝１５ ５ 门格尔 （ ｅｇｒ 海绵 （ ２　 ｌ ／ｏ ｇ ｇ ．８ 。 Ｍ ｎｅ） 图 ）
从 表 面 看 是 一 个 立 方 体 ， 三 维 的 ， 它 是 以 某 一 构　 是 但 造 为基 础 而 规 则 形 成 的 许 多 孔 洞 的 高 度 无 序 结 构 。 　

在一定压 力下它能 压实 在 一个 平面 上 ， 时就 是二　 这
维 的 。这 说 明 表 观 看 上 去 充 实 的 立 方 体 实 际 上 是 部　 分 充 实 的三 维 结 构 ， 维 数 应 大 于 ２ ０而 小 于 ３ ０， 其 ． ． 　 真 实 维 数 为 Ｄ＝ｌｇ０ ｌｇ ｏ２ ／ｏ３＝２ ７６ 。 ．２ ８　

这 一 时期 ， 形 几 何 在 各 个 领 域 的 应 用 取 得 了　 分 全 面 的发 展 ， 形 成 了 独 立 的 学 科 。 曼 德 尔 布 罗 特　 并 集 前 人 研 究 之 大 成 ， 其 独 特 的思 想 ， 统 、 入 、 以 系 深 创　 造 性 地 研 究 了 海 岸 线 的 结 构 、 有 强 噪 声 干 扰 的 电　 具

图 １谢 尔宾 斯 基 三角 垫 片　

圈　
图 ２ 门格 尔海 绵　
一

子通讯 、 月球 的表 面 、 河 系 中星 体的 分 布 、 貌 的　 银 地 生成几何性质等 典 型对象 ， 取得 了一 系列令 人 瞩　 并 目的成就 。１７ ９ ５年 ， 曼德 尔 布 罗特 以“ 形 、 状 、 分 形 　 机遇和维数” 为名发表了他的划时代专著 ， 首次 系统　
个 独 立 的 学 科 ， 形 几 何 正 式诞 生 了 。 自 １７ 分 ９ ５年　 以来 ， 形 理 论 无 论 是 在 数 学 基 础 还 是 在 应 用 方 面　 分

早在 ２ ０世 纪 初 ， 学 家 豪斯 道 夫就 对 分维 进　 数 行了数学 研究 ， 现在豪 斯道 夫测度 及维数 已成 为分　
形 理 论 的 核 心 概 念 和 数 学 基 础 。 但 是 豪 斯 道 夫 测　

地 阐述了分形几何的思想 、 内容 、 义 和 方 法 。 作 为　 意

度 和维数 都 很 难 计 算 ， 以 以豪 斯 道 夫维 数 为 基　 所 础 ， 学家们 又根 据不 同的需要 给 出 了很 多分维 的　 科
定 义 ， ： 似 维 数 、 联 维 数 、 息 维 数 、 量 维　 如 相 关 信 容 数 、 义维数 等 。 广 　
二 、 形 理 论 的发 展　 分

都 有 快 速 发展 。 由 于 分 形 几 何 极 强 的 应 用 性 ， 在　 其 物 理 学 的 相变 理 论 、 料 结 构 与控 制 、 学 中 的 断 裂　 材 力

与破坏 、 高分子链 的聚 合 、 模式 识 别 、 自然 图形 的模　 拟、 酶的生成以及 经济 管理 等领 域都 获得 了广泛 的　
应用 。 　

分 形 理 论 的发 展 可 分 以 下 三 个 阶 段 ： 　
（ ）８ ５年 至 １２ 一 １７ ９ ５年　

三 、 形 理 论在 经 济 管 理 中 的应 用　 分

曼德 尔布 罗特首先 将分形 的概 念引 入经 济学 。 　 早在 １ ６ ９ ３年 ， 发现 市 场 商 品价 格 变化 与时 间之　 他 间有一 种不 同寻常 的 函数 关系 ， 现出统计 自相 关　 呈 的性 质 。 他 求 得 １ ９世 纪 棉 花 价 格 变 化 的 分 维　
Ｄ ｅ＝１７， 研 究 了 利 润 变 化 、 票 市 场 的 行 情 、 ． 并 股 居　

这一时期 ， 人们认 识到分形 的存 在 ， 构造 了许 多　 典型的分形对象 ， 并为 讨论 它们提 出了最 基本 的工　 具。１ 纪 ， ９世 尽管人们 已经 能 区别 连续 与可微 的 曲　
线 ， 普遍认为连续但 不可微的情形 是极为例 外的 ， 但 　 理 论 研 究 中 应排 除 这 类 “ 物 ”， 且 特 别 认 为 一 条　 怪 而 连 续 曲线 不 可微 的 点 应 当 是 极 少 的 。 １０ ９ ４年 ， ? 冯 　

民的收入 及资产 和财 产的 分布等 经济 问题 ， 并认 为　 所 有这些 问题 都 与 分 形有 关 。现 在许 多经 济 学 家　 运 用分形 理论说 明和解 释 复杂多 变的经 济现象 ，， 例　 如 ， 济弹性 的分 维意义 、 经 价格变化 的分 维测算 、 　 国 民收入 的分形 与分 维 、 资本 和财 产 的 负幂 分 布 、 经　 济 系统变 化 趋 势 预 测 的 Ｒ Ｓ分 析 、 济 混 沌 及 经　 ／ 经
济 奇 异 吸 引子 的 分 维 测 度 等 ， 有 这 些 新 成 果 为 经 　 所 济 学 注 入 了新 的 活 力 。 　

科契用初 等方法 构造 了一种处处不 可微的连续 曲线　
（ ? 契 曲线 ） 并 讨 论 了该 曲 线 的 性 质 。 该 项 研　 冯 科 ，

究工作改变 了人们认 为连续不可微 曲线 的构造 一定　
非 常 复 杂 的看 法 。在 这 一 时期 ， 冯 ? 契 曲 线 外 ， 除 科 　

人们 提 出了许 多分 形对 象 ， 如皮 亚诺 （ ｅｎ ） Ｐ ａｏ 曲线 、 　 康 托尔三分集 、 布朗 （ ｒｗ ） Ｂｏ ｎ 运动 （ 种典 型的随 机　 一 分形集 ） 。随着对分 形对象 的深入研究 ， 等 人们 认 识　 到分形 是 自然界 中一 种普遍 存在 的对象 ， 为描 述 它　 们 ，９ ９年 ， 斯道 夫 （ ａｓｏ ） 出 了豪 斯道 夫　 １１ 豪 Ｈ ｕｄｒ 提 ｆ

用分形理论研究资本市场解 决 了有效 市场理论　 中许多前提假设 的局 限性和缺 陷。在传统 的有效市　 场理 论框架 下 ， 主要研 究 价格 波动是 否 满足 随机 游　
?

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【 经济研究】 　

卢方元 分形理论及其在经济管理中的应用　

走 的检验标 准 ， 而对 于异 于随 机游 走 的市场 波 动状　 态， 则被排斥于有效市场研究 之外 。实证 研究表 明 ， 　 世界上绝大 多数资 本市场 中的价格并 不服从 随机游　
走， 而具 有不 同程 度 的 长 期 相 关 性 。 股 票 价 格 随 时　

式 。可以认 为 ， 在知识经济社会里 ， 分形 理论将成 为　
管 理 科 学 的 基础 。 　

近几 十年来 ， 由于城市 的快速发 展 ， 随之而来 的　 是社会治安 、 交通拥挤 、 环境 污染 、 口控制 、 人 能源 紧　
缺 等 一 系 列 问题 。用 分 形 原 理 管 理 城 市 是 近 年 来 崛　 起 的 管 理 科 学 的 一 个 分 支 。城 市 建 筑 、 路 分 布 、 道 商　

间变化的图形 ， 显示为一条参差不 齐的折线 ， 不是　 既
直线 的 一 维 也 不 是 平 面 的 二 维 ， 的 维 数 介 于 一 和　 它

二之 间 ， 即分形 中的分 数维 。观察 股 票 日、 、 收　 周 月 益率 ， 不难发现其具有分 形中的 自相似性 ， 即构成体　
相 对 独 立 的部 分 （ 系统 、 子 系统 ） 形 态 结 构 是　 子 子 的

业 网点布局 、 生活服务设施建设 、 信息 高速公路建 设　 等在一定 程度 上 满足 了分形 结构 的研 究 理论 范畴 。 　 用分形原理 ， 以进行城市边界 的分形模拟 ， 理和　 可 管 设计城市布局 ， 即区域配套整体功能设计 。 　
分 形 理 论 应 用 于 人 口学 ， 人 口学 研 究 增 添 了　 为 新 的 学 派 —— 非 线 性 分 析 学 派 。人 口系 统 的 混 沌 行　

整体的缩影 。非线性 系统理论的应用 以及分形 资本　 市场理论 的提 出 ， 资本市 场 的研究 构建 了一个 新　 为 的理论框架 ， 为资 本市 场波 动特 性 与结构 的研 究 提　 出 了新方法 。诸 如市 场 的分形 维数 和非 线 性结 构 ， 　 市场对于信 息 反 应 的非 线 性 因果 关 系等 问 题 的研　 究， 对于市场 的监管 者和政策的制定者 ， 都具 有重要　
的意 义 。 　

为 、 口发展 的 Ｒ Ｓ分析 与 预 测 、 口系统 的多 重　 人 ／ 人 分形 、 城镇人 口分布 的分形 与城市发展 战略 ， 以及城　 市 形态扩散增 长 的凝 聚扩散模 型模拟 方法 等 ， 形　 分 理论都大有用武 之地 。 　
参 考文献 ： 　

在管 理科学 领域 内， 其组织建 设 、 管理方法 与手　 段等方 面都 表现 出一定的层次 、 构 、 结 功能和信 息的　
相 似 性 。从 最 底 层 管 理 到 最 高 层 管 理 、 局 部 到 整　 从

［ ］ 美］ １ ［ 埃德加 ? ． Ｅ 彼得 斯著 ， 王小 东译 ． 资本 市场　
的混沌 与 秩 序 ［ ． 京 ： 济 科 学 出版 社 ， Ｍ］ 北 经 　
１ ９９． ９ 　

体 、 政务与科技管理到经济财务 管理 ， 从 也都体现 着　
一

定 的 自相似 性 。受 分形 理论 的启 发 ， 国学 者 瓦　 德

［ ］于发稳． ２ 分形理论 与 非线性 经济 系统 ［ ］ 西北　 Ｊ． 农业 大学学报 ， ９ ，８ ４ ：５ ３ ３． １ ６ １ （ ）３ ９— ６ 　 ９
［ ］郁 俊 莉 ． 形 理 论 及 其 在 资 本 市 场研 究 中 的 意　 ３ 分

内克 （ ｍｅｋ ） 授 提 出 了 一 种 新 的 企 业 管 理 模　 Ｗａ ｃｅ 教

式： 分形企 业 管 理 。分形 企 业 的 每个 组 成 部分 （ 分　 形） 都是独立 的 ， 能够 自主 决策 ， 同时又能 正确 处理　 它们 在整个企业 系统 中的地位 和作 用 。每个 组成部　 分都有 自我优化 、 自我设计 、 自我创 造和 自我 组织 的　 自由 ， 但都 受 到 整个 企 业 任 务这 个 大 环 境 的 制 约。 　 这种企业适 应外部 环境 的 能力 显 著提 高 ， 及时 调　 能

义［ ］ 石 家庄经 济 学院 学报 ，０ ０ （ ） ２ ３— Ｊ． ２０ ， ３ ：５ 　
２ ５７ ． 　

［ ］胡　 援 ． 形 理 论 及 其 在 管 理 领 域 中 的 应 用　 ４ 分

［］ 同济 大学 学报 （ Ｊ． 社会科 学版 ）２０ ，４ ２ ： ， ３ １ （ ）　 ０
７ —８ ． ８ ２　

整其结构 以应 付外 部变 化 ， 这对 处 于瞬 息万 变 的市　
场环境 中 的企 业显 然 是 十分 有利 的组织 和管 理 模　

（ 任编辑 ： 献策 ） 责 王 　

Ｏｎ Ｆｒ ｃ ａ 　 ｅ ｒ 　 ｎ 　ｔ　 ｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｆ ｒ Ｅｃ ｎ ｍｉ 　 ａ ａ ｅ ｅ ｔ 　 ａ ｔ ｌＴｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｉｓ Ａｐ ｌ ｔｏ 　 ｏ 　 ｏ ｏ ｃ Ｍ ｎ ｇ ｍ ｎ 　 ｃ
Ｌ 　 ａ ｇ ｙ ａｎ Ｕ Ｆ ｎ －ｕ 　

（ ｕｉｅｓＳ ｈ ｏ　ｆＺ ｅｇｈ ｕ Ｕ ｉｅｓｔ Ｚ ｅｇｈ ｕ， ｎ ｎ４ ０ ５ Ｃ ｉａ ） Ｂ ｓ ｓ　ｃｏｌｏ ｈｎ ｚ ｏ　 ｎｖｒｉ ｎ ｙ， ｈｎ ｚ ｏ Ｈｅ ａ　５ ０ ２， ｈｎ 　
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｒ ｃ ａ　ｈ ｏ ｙ ｉ ａ ｃ ｍｐ ｅ 　 ｒ ， ｉ ｈ ｉ　 ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｅ 　 ｙ ａ ｓｍｉ ｒ ｙ ｏ 　 　 ｏ ｏ ｅ ｔｔ　ｈ 　 ｏ ｅ ｅ ｔ ｙ ｓｒ ｃ ：Ｆ ａ ｔ ｔ ｅ ｒ 　ｓ 　 ｏ ｌ ｘ ｆ ｍ ｗｈ ｃ 　ｓｃ ａ ａ ｔ ｒ ｄ ｂ 　 　ｉ ｌ ｉ 　 ｆａ ｃ ｍｐ ｎ ｎ 　ｏ ｔ ｅｗｈ ｌ 　 ｎ ｉ 　 ｌ 　 ｏ ｚ ａ ｔ ｔ

ｉ　 ｏ 　 ｙ ａ ｄ ｏ 　 ａ ｔ 　 ｉ ｎ ｉｎ ｎ ｓ ｍｅ ｗａ 　ｎ 　 ｆ ｒｃａ ｄ ｍｅ ｓｏ ．Ｂｏｎ ｉ　ｈ 　 ｄ １ ９ ｓ ｒｃａ　ｈ ｏ 　 ａ　 ｅ ｏ 　 　ｍｐ ｒ ｎ　ｏ ｏ ｎ ｎ　ｆ ｆ ｌ ｒ　ｎ ｔｅｍｉ －９ ０ ，ｆａ ｔ ｔｅ ｒ ｈ ｓｂ ｃ ｍｅａ ｉ ｏ ｔ ｔｃ ｍｐ ｅ ｔｏ　 ｌ ｙ ｎ ａ

ｃ ｍｐｅ ｉ 　ｃｅ ｃ ｏ ｌｘｔ ｓ ｉｎ ｅ，ｗｈ ｃ 　ｓｅ ｔｎ ｉｅｙ ａ ｐｉｄ ｆｒｃ ｐｔｌｍａ ｋ ｔ ｕ ｉｅ ｓｍａ ａ ｅ ｎ ，ｃｔ　 ｌ ｎｎ ，ｐ ｐ ｌ － ｙ ｉｈ ｉ　 ｘｅ ｓｖ ｌ　 ｐ ｌ 　 　 ａ ｉ 　 ｒ ｅ ，ｂ ｓ ｓ　 ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｉ ｐ ａ ｉ ｇ ｏ ｕ ａ　 ｅ ｏ ａ ｎ ｙ ｎ
ｔ ｎ ｒｓ ａｃ ｉ 　ｅ ｅ ｒｈ，ｅｃ ｏ ｔ ．Ｔ ｅａ ｐ ｉａｉｎ ｏ　 ａ ｔ 　 ａ ｉａ　 ｒ ｅ　ｈ ｏｙ，ｆａ ｔ 　 ｕ ｉ ｅ ｓｍａ ａ ｅ ｎ 　ａｔｒ ｓｈ 　ｒ ａｌ　 ｈ 　 ｐ ｌｃ ｔ 　ｆｆ ｃａ ｃ ｐｔｌｍａｋ ｔ ｅ ｒ ｏ ｒ ｌ ｔ ｒｃａ ｂ ｓｎ ｓ　 ｎ ｇ ｍｅ ｔｐ ｔｅｎ 　 ａ ｇ ｅ ｔ ｌ ｓ ｙ
ｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅ ｉ ｉ ｎ ｙ ｏ 　 ｃ ｎ ｍｉ　 ｎ ａ ｅ ｎ ． ｍｐ ｏ ｅ 　ｈ 　 ｆ ｃ ｅ ｃ 　 ｆｅ ｏ ｏ ｃ ｍａ ｇ ｍｅ ｔ 　

Ｋｅ 　 ｒ ｓ ｒ ｃａ　ｈ ｏ ；ｆａ ｔ 　 ｉ ｎ ｉｎ；ｅ ｏ ｏ ｃ ｍａ ａ ｅ ｎ　 ｙ ｗｏ ｄ ：ｆａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｌ ｙ ｒｃａ ｄ ｍｅ ｓｏ ｌ ｃ ｎ ｍｉ　 ｎ ｇ ｍｅ ｔ

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