带跳随机局部波动率模型的校准：一种Tikhonov正则化方法

发布时间：2020-06-25 13:35

【摘要】：在数学上，波动率模型的校准问题是一个确定模型参数的反问题，通过校准使得由模型计算出的衍生产品价格与该产品的市场价格一致，由于Black-Scholes模型中的常数破洞率假设不能够反应市场中所观察到的波动率微笑和波动率的期限结构，在过去的几十年中，研究者一直尝试用更丰富的波动率模型来校准市场，其中包括随机局部波动率模型和带跳的模型。在随机局部波动率模型下，标的资产的波动率表示为一个局部波动率函数和一个随机过程之积，也就是将局部波动率模型和随机波动率模型相结合，旨在包含两者优势的同时消除各自的不足。对于随机局部波动率模型，学者们提出了相关的校准方法，通常分为两步，首先校准纯随机过程部分，之前的方法主要讲该部分参数化，通过求解非线性最小二乘问题使得模型中的常数参数最优；然后是校准该模型中局部波动率函数，利用DERMAN和KANI的结果，该局部波动率函数可以表示成一个与条件期望相关的表达式，然后MONTE CARLO 或者偏微分方程来求解，但是该具体形式以来首先校准局部波动率模型。对于带跳的模型中的跳参数的确定，一般是通过非线性最小二乘方法来校准，或者运用统计方法从标的资产的历史数据来估计。由于TIKHONOW正则化的最优控制方法在校准局部波动率模型上取得比较好的效果，促使我们考虑将其运用到一般形式的波动率模型校准问题上来。在本论文中，我们通过TIKHONOW正则化方法来校准一般形式带跳随机局部波动率模型。一般形式是指我们不预先假定波动率模型函数以及随机部分的漂移项和扩散项所满足的特定函数形式。在之前，DAI等研究一般形式的随机波动率模型的校准，一般形式带跳随机局部波动率模型还没有被研究过，我们用最优控制的方法校准这三个函数项，同时由于回避DERMAN和KANI中关于局部波动率函数显示表达式这一结果，使得我们给出一般带跳随机局部波动率模型下，期权价格作为敲定价格和到期日期的函数所满足的偏微分方程，称之为修正的DUPIRE方程，基于此，我们将可以波动率模型的校准问题表示成标准的偏微分方程反问题，然后通过TIKHONOW正则化的最优控制的方法，我们构建每一个的优化问题，每一个时间步的最优解所满足的必要条件可以用一个辩分问题来表示，通过简化必要条件，可以得到关于时间连续的极限情形；对于极限情形下的必要条件，我们提出了梯度下降的求解算法，由于我们的校准方法是同时校准出模型中需要确定的三项，我们用一个整体的算法来求解。为了论证方法的有效性，我们做大量的模拟数据实验和市场数据实验。用模拟数据验证时,我们分别对每一项单独测试,然后对三个函数同时测试。用市场数据验证时,我们选取的是SPX期权的价格数据。实验结果验证了校准算法的有效性。
【学位授予单位】：苏州大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O211.6;F830

【共引文献】

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本文编号：2729213