微分方程保能量算法的研究

发布时间：2017-10-17 14:29

  本文关键词：微分方程保能量算法的研究

  更多相关文章： 保结构算法 保能量方法 保能量耗散方法 指数型积分子 函数适应方法 连续型Runge-Kutta方法 多辛哈密顿偏微分方程 保局部能量方法

【摘要】：守恒和耗散系统广泛来源于天体力学,分子动力学,电路模拟,量子力学和电磁学等科学领域。能量是刻画守恒和耗散系统的最重要的物理量之一。从保结构算法的角度来看,好的数值方法必须尽可能地保持来源于原连续系统的离散的物理和几何结构。保能量或能量耗散方法是一类特殊的保结构算法。他们可以分别保持守恒或耗散系统的首次积分或李雅普诺夫函数。大量的理论和实验结果表明数值方法的能量守恒或能量耗散性质可以保证线性误差增长,对原系统定性性质的正确模拟和强有力的数值稳定性等优良的数值特性。针对守恒或耗散的常微分和偏微分方程,本文致力于构造和分析具有优良几何性质和极高代数精度的保能量或能量耗散方法。第一章简要地介绍了保能量方法及其相关方法的背景知识和我已被接收或发表的关于保能量算法的原创性工作。本文剩余内容可分为三部分：第二章考虑了具有线性主部的守恒或耗散的常微分系统y'=Q(My+%経(y)), y(t0)=y0∈Rd,其中Q是一个反对称或半负定矩阵,M是一个对称矩阵.对于此系统,这一章提出并具体分析了一个二阶对称保首次积分或李雅普诺夫函数H(y)=1/2yT My+U(y)的指数型积分子。如果||QM||远大于||QHessU(y)||,该新方法比标准的保能量或能量耗散方法的容许步长更大,数值解的精度更高。针对一般的哈密顿系统y'=J-1%紿(y), y(t0)=y0∈Rd,这里J是一个常值辛矩阵,第三章构造了对称的函数适应型保能量方法。通过扩大函数适应空间,这一章在理论上证明了这类方法可以达到任意高阶。往函数适应空间中添加三角函数对{sin(ωw),cos(ωt)}可以自然地导出了任意高阶的三角适应型保能量方法。在处理以单个频率ω振荡的哈密顿常微分系统时,新提出的三角适应型保能量方法比标准的保能量方法效率更高。第四章考虑了一般的带一个时间变量t和两个空间变量x,y的哈密顿多辛偏微分方程Mzt+Kzx+Lzy=%絲S(z,x,y),z=z(x,y,t)∈Rd,这里M,K,和L都是反对称矩阵。分别用连续型Runge-Kutta方法和Gauss-Legendre/拟谱方法离散时间和空间方向,这一章提出了一个一般的框架来构造任意高阶的保某种离散局部能量律的方法。该离散守恒律是原方程局部能量守恒律(?)t(S-182z τKzx-1/2zτZzy)+(?)x(1/2zτKzt)+(?)y(182zτLzt)=的近似。除此之外,本文还展示了包括刻画三原子分子的不可分哈密顿系统,风诱导的振荡问题,α-Fermi-Pasta-Ulam系统,扰动的Kepler]问题,Duffing方程,高频振荡的Fermi-Pasta-Ulam问题,含一个或两个空间变量的(耦合)非线性薛定谔方程等一系列数值实验,来证明文中新方法的优秀的数值特性。
【关键词】：保结构算法 保能量方法 保能量耗散方法 指数型积分子 函数适应方法 连续型Runge-Kutta方法 多辛哈密顿偏微分方程 保局部能量方法
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O175
【目录】：

• Acknowlegements4-7
• 摘要7-9
• Abstract9-11
• 1 Introduction11-21
• 1.1 Structure-preserving algorithms11-14
• 1.1.1 Energy-preserving and -decaying methods12-13
• 1.1.2 Hamiltonian ODEs and symplectic methods13-14
• 1.2 Exponential integrators14-15
• 1.3 Functionally fitted methods15-17
• 1.4 Multi-symplectic PDEs and local energy-preserving methods17-19
• 1.5 Original work associated with this thesis19-20
• 1.6 The outline of this thesis20-21
• 2 Exponential AVF method21-47
• 2.1 Background and motivation21-24
• 2.2 Construction of EAVF for conservative and dissipative systems24-29
• 2.3 Properties of EAVF29-31
• 2.4 Problems suitable for the EAVF31-37
• 2.4.1 Highly oscillatory nonseparable Hamiltonian system31-32
• 2.4.2 Second-order(damped)highly oscillatory system32-35
• 2.4.3 Semi-discrete conservative and dissipative PDEs35-37
• 2.5 Numerical experiments37-46
• 2.6 Conclusions and discussions46-47
• 3 Functionally fitted energy-preserving methods47-78
• 3.1 Background and motivation47-49
• 3.2 Functionally fitted continuous finite element methods49-53
• 3.3 Interpretation as continuous-stage Runge-Kutta methods and order53-65
• 3.4 Implementation issues65-68
• 3.5 Numerical experiments68-75
• 3.6 Conclusions and discussions75-78
• 4 Local energy-preserving methods for multi-symplectic PDEs78-118
• 4.1 Background and motivation78-80
• 4.2 Multi-symplectic PDEs and energy-preserving continuous Runge-Kutta methods80-82
• 4.3 Construction of local energy-preserving algorithms for Hamiltonian PDEs82-94
• 4.3.1 Pseudospectral spatial discretization82-88
• 4.3.2 Gauss-Legendre collocation spatial discretization88-94
• 4.4 Local energy-preserving schemes for coupled nonlinear Schrodinger equations94-98
• 4.5 Local energy-preserving schemes for 2D nonlinear Schrodinger equations98-102
• 4.6 Numerical experiments for coupled nonlinear Schrodingers equations102-112
• 4.7 Numerical experiments for 2D nonlinear Schrodinger equations112-116
• 4.8 Conclusions and discussions116-118
• Bibliography118-127

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