具有三阶细奇点的二次微分系统的全局结构和分支曲线

发布时间：2017-10-28 01:25

  本文关键词：具有三阶细奇点的二次微分系统的全局结构和分支曲线

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【摘要】：本文研究如下两个平面二次微分系统：系统(1)原点的奇点性态由c确定,当|c|1时,原点为鞍点,当|c|1时,原点为结点；系统(2)原点的奇点性态也由c确定,当|c|≠0时,原点为焦点。系统(1)和系统(2)除原点外均存在一个三阶细奇点,文中统一记为A0,A0是关于参数c,u的变动奇点,系统(1)和系统(2)中A0的坐标分别为和(与以往文献研究二次系统细焦点和细鞍点不同的是,A0并非固定在原点,其在坐标平面上的位置和性态依赖于参数c,u。随着参数的变动A0的奇点性态或者为三阶细焦点或者为中心又或者为三阶细鞍点,本文给出了在c-u平面上刻画奇点A0性态完整的分支曲线图。路钢在研究三阶细焦点问题时,对于分支曲线C(α,l)=0无法给出明确的表达式,然而本文在c-u平面上的所有分支曲线都有明确的解析表达式。这些分支曲线把平面分成若干个区域,在开区域内参数c,u对应的变动奇点A0的性态为三阶细焦点或者三阶细鞍点,分支曲线上对应的A0性态为中心或者为超细鞍点或者为指标和为+1的三重退化奇点。通过本文的研究得到了,除中心分支出三阶细焦点外,指标和为+1的三重退化奇点也存在分支出三阶细焦点或者三阶细鞍点的情形,再者我们也得到某些退化的无穷远奇点向有限平面上分支出三阶细焦点或者三阶细鞍点的情形。本文在研究系统(1)和系统(2)时,使用了以往文献没有见到的一些研究方法。(1)c-u平面上多条分支曲线的交点为高阶分支点,在高阶分支点上,系统的某些有理系数项分子分母均为零,研究此类高阶的分支点,本文将其转换为对相应极限系统的研究,例如在c-u平面上的原点均为两个系统的高阶分支点,当点(c,u)沿某个方向趋于原点系统的有理系数极限存在,由此我们可以先令u=kc带入系统,然后再令c=0,这样就将原点处的系统转化成为了关于参数k的系统,此时k系统对应从不同方向趋于原点的极限系统。用此方法,相当于将一个点爆破成一条直线；(2)通过求解系统若干不变代数曲线进而求解系统通积分的具体方法是：首先利用待定系数的方法求解系统的若干不变代数曲线,设系统通积分为若干不变代数曲线幂乘积的形式,例如本文中系统(1)在分支曲线c=5上有一条二次不变代数曲线和一条三次不变代数曲线,分别记为F2(x,y)=0、F3(x,y)=0,设通积分为φ(x,y)=(F3)(F2)°由φxP+φyQ-0解得σ=-3/2,即得到了系统(1)在c=5上的通积分。本文研究系统(1)和系统(2)在分支曲线上的全局结构。Jaume Llibre阐明QCUQW3已经完全研究清楚,以往文献给出了9个二次系统中心的全局相图,然而根据本文所指出的两类二次微分系统得到了下列新的结果：(1)系统(1)中在c-u平面上的分支曲线有c=0,u=±1,u=-c,u=-3/5,3u2= c2+2,(13c - 9c2 +2c3 + 15u - 24cu + 9c2u - 15u2 +9cu2):0,(13c+ 9c2 + 2c3 + 15u + 24cu + 9c2u + 15u2 + 9cu2)=0；系统(2)中在c-u平面上的分支曲线有c=0,u=c,u=3/5c,3u2=c2 - 2,分支曲线均为c-u平面上的一次、二次、三次(2)本文指出指标和为+1的三重奇点所对应的系统经过适当的扰动能够分支出一个三阶细焦点和两个复奇点,或者分支出一个指标为-1的三阶细鞍点和另外两个指标为+1的奇点；(3)某些退化的无穷远奇点亦可向有限平面分支出三阶细焦点或者三阶细鞍点；(4)在分支曲线c=土5上本文得到了连接中心与超细鞍点更高阶的奇点；(5)本文得到了26个A0为中心的二次系统的全局相图,覆盖了路钢所述9个中心的情形,还包含了一些新的以往文献没有的二次系统中心的全局相图,如相图O(E),k=-1和(5,-3)E,-3/5k-5/9等。
【关键词】：二次系统 细焦点 细鞍点 奇点量 闭包区域 局部解析通积分
【学位授予单位】：福建师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2015
【分类号】：O175
【目录】：

• 中文摘要2-4
• Abstract4-7
• 中文文摘7-11
• 绪论11-16
• 0.1 课题背景及意义11
• 0.2 二次微分系统研究现状11-13
• 0.3 本文的主要工作13-16
• 第1章 预备知识16-24
• 1.1 非线性系统的奇点性质16-19
• 1.2 无穷远奇点与Poincare圆盘19
• 1.3 原点散度为零具有一般形式二次系统的Poincare形式级数法19-21
• 1.4 一些常用的定义和引理21-24
• 第2章 一类原点为鞍点或结点且具有三阶细奇点的二次系统研究24-51
• 2.1 一类原点为鞍点或结点且具有三阶细奇点的二次系统24-27
• 2.2 二次系统的分支曲线研究27-30
• 2.3 二次系统的可积性条件研究30-34
• 2.4 分支曲线上系统的全局分析34-50
• 2.5 小结50-51
• 第3章 一类原点为焦点且具有三阶细奇点的二次系统研究51-63
• 3.1 一类原点为焦点且具有三阶细奇点的二次系统51-53
• 3.2 二次系统的分支曲线研究53-55
• 3.3 二次系统的可积性条件研究55-56
• 3.4 分支曲线上系统的全局分析56-61
• 3.5 小结61-63
• 第4章 结论63-65
• 4.1 总结63-64
• 4.2 展望64-65
• 参考文献65-69
• 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果69-70
• 致谢70-71
• 个人简历71-75

【参考文献】

中国期刊全文数据库 前4条

1 桑波;朱思铭;;焦点量与鞍点量的关系[J];数学年刊A辑(中文版);2007年02期

2 李学鹏;一类二次系统定义的双参数三次代数曲线解族[J];数学年刊A辑(中文版);1998年06期

3 梁肇军;关于一类具有三阶细焦点的二次系统的奇异环[J];数学杂志;1986年04期

4 韩茂安;LIAPUNOV CONSTANTS AND HOPF CYCLICITYOF LIENARD SYSTEMS[J];Annals of Differential Equations;1999年02期

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本文编号：1106072