黎曼几何与非光滑分析

发布时间：2017-11-09 02:24

  本文关键词：黎曼几何与非光滑分析

  更多相关文章： 非光滑分析 Lipschitz映射 非奇异点 光滑逼近 微分球定理

【摘要】：在黎曼几何中,曲率和拓扑之间的关系是中心问题之一。其中,球面定理是典型的代表,经过几十年的发展,最终Brendle等用Ricci流的工具证明了微分球定理。本文是关于论文[17]的一个报告。[17]原意是想用非光滑分析的工具证明微分球定理,但并没有证明出来。不过在证明过程中,[17]得出了几个有用的定理。其中的主要定理是运用F.H.Clarke创建的非光滑分析([6,7]),对一个从紧黎曼流形M到完备黎曼流形N的Lipschitz映射F进行光滑逼近,并且若该Lipschitz映射F满足条件：在Clarke意义下没有奇异点,则该光滑逼近是浸入。该主要定理的一个推论是：若两紧流形间存在双Lipschitz映射,且该映射及其逆映射在Clarke意义下都没有奇异点,则这两个流形微分同胚。作为对主要定理的应用,[17]还证明了两个微分球定理。本文的主要贡献是补充完善了[17]中主要定理的证明。在主要定理的证明中,[17]将黎曼流形N等距嵌入到欧氏空间Rm中,从而将F看作是M到Rm中的Lipschitz映射。于是在Rm中讨论了F的光滑逼近Fε,最后将Fε(M)对N作距离投影,从而得到F在N中的光滑逼近fη。然而[17]对fη为何满足定理中的结论没有给出进一步的证明。本文就这一点给出了补充证明。除此之外,本文还更正了[17]中部分细节上的错误,完善了某些细节上的证明。
【学位授予单位】：南京大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O186.12

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本文编号：1159914