两类延迟微分方程的数值解法

发布时间：2018-04-17 14:29

  本文选题：脉冲延迟微分方程 + 分数阶延迟微分方程　； 参考：《哈尔滨工业大学》2016年硕士论文

【摘要】：为了能够真实地刻画复杂的现实世界,延迟微分方程在上世纪中叶应运而生。众所周知,在实际求解中延迟微分方程的解析解是非常难获得的,甚至求解最简单的线性延迟微分方程都无法实现。后来,数值模拟为人们开辟了一条切实可行的途径。Bergman在1930年首先给出了再生核的概念及表达式。迄今为止,再生核理论已非常完善。并且以其良好的性质,在解决某些边值问题上,凸显了其极大的优越性。特别地,将再生核理论应用于分数阶微分方程的研究才刚刚起步,有很广阔的研究前景。本文的第二部分利用再生核方法求解了一类脉冲延迟微分方程。在该模型中,“脉冲”和“延迟”作为两个重要因素同时存在,其解的性质变得十分复杂和难以控制,想要求解这类模型就变得更加困难了。因此,本文提出了一种新的再生核方法来求解此类脉冲延迟微分方程。我们定义了新的内积和范数,得到了新的再生核表达式。并且新方法避免了将定义区间离散化这一复杂的过程,只需选取恰当的再生核空间吸收初值条件,再逐段求解即可,操作十分简单并节省了计算时间。数值算例验证了方法理论的正确性与应用的可行性。近些年,分数阶理论的研究受到了广泛的关注,尤其是它的全局相关性完美地避免了整数阶导数的局部性对系统函数有历史依赖性这一严重的缺陷,这样利用少量参数就能获得与实际更加吻合的结果。所以本文的第三部分利用再生核方法和三次样条方法求解了一类分数阶延迟微分方程。目前,再生核和三次样条理论还很少被利用于分数阶的研究。从文中对于此类分数阶延迟微分方程的求解可以看出,这两种方法在程序的编写上更简单,获得误差的精度也更高。
[Abstract]:In order to truly depict the complex real world, delay differential equations came into being in the middle of last century.As we all know, the analytical solution of delay differential equation is very difficult to obtain in practical solution, and even the simplest linear delay differential equation can not be solved.Later, numerical simulation opened up a feasible way for people. Bergman first gave the concept and expression of reproducing kernels in 1930.Up to now, the theory of regenerative nucleus has been very perfect.And with its good properties, it highlights its great superiority in solving some boundary value problems.In particular, the application of reproducing kernel theory to fractional differential equations is only in its infancy.In the second part of this paper, a class of impulsive delay differential equations is solved by means of the reproducing kernel method.In this model, "pulse" and "delay" exist at the same time as two important factors, the properties of the solution become very complex and difficult to control, so it becomes more difficult to solve this kind of model.Therefore, a new reproducing kernel method is proposed to solve the impulsive delay differential equations.We define new inner product and norm and obtain new reproducing kernel expression.The new method avoids the complicated process of discretization of the definition interval. It only needs to select the appropriate conditions of the initial absorption value of the regenerated kernel space and then solve it step by step. The operation is very simple and the calculation time is saved.Numerical examples verify the correctness of the method theory and the feasibility of its application.In recent years, the study of fractional order theory has received extensive attention, especially its global correlation perfectly avoids the serious defect that the locality of integer order derivative has historical dependence on the system function.By using a small number of parameters, a better agreement with the actual results can be obtained.In the third part of this paper, we use the reproducing kernel method and cubic spline method to solve a class of fractional delay differential equations.At present, reproducing kernels and cubic spline theory are rarely used in fractional order studies.From the solution of this kind of fractional delay differential equation, it can be seen that the two methods are simpler in programming and have higher accuracy of error.
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2016
【分类号】：O241.8

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本文编号：1763981