一类哈密顿系统的重整化群方程

发布时间：2018-08-16 15:05

【摘要】：常微分方程是数学的一个重要分支,不仅在物理、工程、生物、气象学等学科领域有重要的应用,而且在几何学、函数论、代数学、变分法、拓扑学、泛函分析、调和分析等数学重要分支的发展中一直起着重要的作用.常微分方程理论的建立、完善和发展,不但推动相关数学分支学科的蓬勃发展,同时也拓展了这些数学分支理论的研究范围和方法.早在19世纪70年代,人们就发现只有极少数方程的解可以通过初等函数的表示出来,这使得人们不在完全专注于方程的具体求解,而是直接根据方程的结构探索所研究问题的解的一些性质,例如:解的存在性、唯一性、稳定性等,并直接导致了微分方程定性理论和几何理论以及动力系统的建立、发展和完善.而对经典的求解问题,人们更关注对实际问题的研究,而不是只专注于求一个系统或方程的精确解.譬如,由生活中的实际问题而归结出来的数学理论模型,它常常是非线性或者高阶的微分方程,并在此基础上带有非线性的边界条件或者初始条件,而且有些问题的边界形状很复杂、不确定,针对这些问题来说大多数是求不出精确解的,另一方面,即使对有些方程能求得其精确解,但是精确解的表达形式过于复杂而不能应用到实际问题中,因此人们便转而寻求问题的近似解或者数值解,或者是二者的结合形式.为求微分方程的近似解,数学家、物理学家们经过许多年的共同努力,在对各种具体摄动问题的研究过程中,建立和发展了许多重要的技巧和方法,例如平均法、多尺度方法、匹配渐近展开法、伸缩坐标法、WKB方法、中心流形方法等,这些方法统称为摄动方法,其基本思想是把所研究问题的精确解用某个摄动展开式的前几项表示.自上世纪中期以来,摄动方法迅速发展,并被广泛应用于物理学、化学、工程学、天文学等自然学科的各个领域,并得到一些重要结果.但是人们也发现这些方法带有一定的局限性,例如:多重尺度法不易确定时间尺度,匹配渐近展开法虽然既适用于线性问题又适用于非线性问题,但是边界层的位置和厚度一般不易确定,同时还可能出现小参数的分数次幂等,此外,还需要通过中间展开对内部展开与外部展开进行匹配等等.这样寻找一种更为方便有效的方法来克服传统慑动方法的局限性变得尤为重要.上世纪四十年代,Bethe等人在研究光子传播问题时提出了经典的重整化理论.Wilson应用重整化群方法研究了量子场论和统计物理中的问题,并取得了重要的研究成果,基于这些成果他获得了1982年的国际诺贝尔物理学奖,这更使得重整化群方法受到数学家和物理学家的关注.随后Bricmont等人提出了电荷重整化、质量重整化、耦合常数重整化以及波函数重整化等技巧,巧妙的克服了传统摄动方法的局限性,把复杂奇异摄动问题转的求解转化为简单的方程重整化方程的求解问题.近年来,Chen,Goldenfeld和Oono发展并完善了重整化群方法,他们一方面研究了几类重要的奇异摄动问题,得到了这些问题的一致有效的渐近展开式,另一方面探讨了重整化群方法和经典的奇摄动技巧之间的关系.众所周知,哈密顿系统是一类非常重要的常微分方程,这类系统在众多研究领域,尤其是在天体力学和物理学中有重要的应用.自然地,重整化群方法也被应用于哈密顿系统的相关问题研究.1998年,Yamaguchi和Nambu利用重整化群方法研究了一类两个自由度的哈密顿系统.他们证明了:如果哈密顿系统的二阶重整群方程是哈密顿系统,那么原哈密顿系统和重整化群方程都是可积的.具体来说,他们考虑如下的哈密顿系统ε是小参数,势能函数V(q_1,q_2)是q_1和q_2二次或三次齐次多项式,得到如下结果:定理0.1如果哈密顿系统(1)的二阶重整群方程是哈密顿系统,那么哈密顿系统(1)及其重整化群方程都是可积的.随后,他们又进一步考虑了势能V(q_1,q_2)是解析函数,且只含有的q_1和q_2偶次项的情形,得到如下结果:定理0.2哈密顿系统(1)的二阶重整群方程是哈密顿系统当且仅当哈密顿系统(1)是可分的,即V(q_1,q_2)关于q_1和q_2是可分的.在本文中,我们将运用重整化群方法研究一类两个自由度哈密顿系统.考虑如下哈密顿系统定理0.3哈密顿系统(2)的O(ε)阶重整化群方程是本文的主要结果如下:本文的结构如下:在第二章中,我们以单自由度哈密顿系统为例,简要介绍重整化群方法.第三章中,我们首先导出一类两个自由度哈密顿系统的重整化群方程,然后说明该方程是哈密顿系统。
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【学位授予单位】：吉林大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

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