非线性发展方程的分支分析及若干精确解研究

发布时间：2018-11-27 08:44

【摘要】：20世纪以来科学技术迅猛发展发展,自然界中各种错综复杂的现象充满着神秘性,愈发激发了人们去不断探索其本质,于是促使非线性科学得以产生并蓬勃发展。非线性系统与线性系统相比而言,非线性系统能够更好、更形象、更精准地描述自然现象,也能够更接近现象的本质。非线性问题一直存在于自然科学和技术科学各个领域,非线性偏微分方程是非线性科学领域中占有重要地位的一个研究领域,其中孤子理论是非线性偏微分方程研究的一个重要方向。科学家们往往把对自然科学和工程应用的深入研究归纳为对非线性偏微分方程的研究,其中对非线性偏微分方程的求解是一个重要而又复杂的问题,迄今为止我们都很难确定一种十分有效的求解精确解的方法,于是如何获得非线性发展方程的解便为研究非线性问题的首要任务,同时数学上的解析解和如何同物理意义联结起来也是一个值得探讨的很有意义的问题。早在1834年由英国科学家Russell发现了孤立波现象,近二十多年来该现象引起了人们的极大关注,科学家们于是对该现象展开了深入的研究。该现象之所以会引起学者们如此大的兴趣一方面是因为孤立子具有粒子和波的许多性能,在自然界中有一定的普遍性,利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;而另一方面随着孤立子物理问题的深入研究,孤立子的数学理论也应运而生,并已初步形成比较完善的理论体系,学者们正在努力将这套较为完善的理论体系应用到能与之结合起来的物理现象中。Poincare开创性地使用定性思路和几何的方法来从微分方程的本身去探究解的性质。我们知道,如果所研究的微分方程是线性的,那么用一些常见的办法,如Laplace变换或者级数解的办法就可以得到线性方程的解析解,也就是说,所研究的微分方程的解是可以用数学公式表示出来的。然而如果所研究的微分方程是非线性的,那么一般情况下我们是得不到它的解析解的,不过我们能借助一些辅助手段来研究非线性解析解问题。其中一种办法就是利用数值近似的方法。近几十年来,尤其随着计算机的普及以及一些功能强大的计算软件的出现,以往让学者们头疼的非线性微分方程的数值解问题变得更加容易解决了,其性质也很容易从所得到的解和图像中看出。但是在很多应用问题中,如生物、化学及物理等自然科学中有很多由非线性微分方程描述的模型,此时解析解是很难求解得到的,那么我们感兴趣的问题就转变为对系统所具有的整体性质的探讨,即我们所说的定性理论。比如说,系统是否存在解析解;解的个数问题;系统是否存在周期解等等。因此在研究非线性发展问题时动力系统的定性理论的研究是重要的且必须的。本文的研究研究主要包括:(1)首先,运用几何分支理论和动力系统定性理论研究了一个MS方程的动力行为并通过应用新的辅助函数方法、椭圆函数法以及最简方程方法得到了它的一些新的精确解。我们首先通过一个行波变换,将偏微分方程转化为常微分方程,然后画出轨线图,通过动力系统相关理论判别平衡点和解的类型,得到孤波解和椭圆函数周期解等类型精确解。(2)其次,运用几何分支理论和动力系统定性理论研究了一个Zhiber Shabat方程的动力行为并通过应用ITEM方法(该方法是2015年由Manafian新提出的求解非线性方程解析解的方法)和拓展的sine-cosine方法得到了它的一些新的有物理意义的精确解。我们首先通过一个行波变换,将偏微分方程转化为常微分方程,然后画出轨线图,通过动力系统相关理论判别平衡点和解的类型,得到孤波解和椭圆函数周期解等类型精确解。(3)最后,我们研究了非线性领域一种新的现象——畸形波。我们主要以第二类KP方程为例,通过双线性变换,运用同宿呼吸子极限法求得KP方程的呼吸子解,然后对其取周期极限,得到畸形波解。综上所述,本文主要结合非线性方程的精确解的若干构造方法以及计算机符号计算的辅助,跨学科地分析了在光通信和流体力学等领域中具有重要研究价值的一些非线性发展方程,包括对它们的动力系统的分析和解的性质的研究以及解与相图之间的对应性。同时本文还研究了一种近期出现在海上的新的物理现象——畸形波,并应用相关方法求得了在物理上有很好的意义的一类方程的畸形波解。本文中用到的研究方法,也可以应用到其它物理上或者工程上若干复杂的非线性模型的研究上。同时对于文中得到的研究结果,作者希望能为相关领域的研究提供一些理论上的帮助。
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【学位授予单位】：北京邮电大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2017
【分类号】：O175

【参考文献】