椭圆型方程组在均匀化理论中的正则性研究

发布时间：2018-12-09 19:54

【摘要】：本文主要研究了一般椭圆算子在均匀化问题中的一致正则性和收敛速率的问题。本研究的进展是基于下面的三个方面。其一,在上世纪80年代末,M. Avellaneda和林芳华发表了一系列的论文,系统的研究了只有主部项的二阶椭圆算子带Dirichlet边值条件在均匀化问题中的一致Holder估计,Lp估计(1p∞),Lipschitz估计,以及非切向极大函数的估计。这里他们主要的贡献是发展出了紧方法来解决一致估计中的难题。我们知道均匀化问题直观上看,其算子系数依赖于参变量ε,用传统的估计方法(扰动方法),其估计式的常数依赖于主部系数的光滑性,也因此依赖于参变量ε。因此不能得到所谓的一致估计(这里所谓的一致估计就是指估计式中的常数不能依赖于ε)。但对于相应的Neumann问题,其一致估计直到2013年才由C. Kenig、林芳华、申仲伟做出了突破性的进展,他们的方法是先得到了Rellich估计(事实上比Lipschitz估计更难做),然后再用紧方法得到了最佳估计,Lipschitz估计以及非切向极大函数的估计,这是其二。其三,在收敛速率方面的研究。近几年,由T. Suslina等人利用Steklov光滑算子结合对偶方法,得到了光滑区域上的最佳收敛速率的结果。在非光滑区域上主要的进展可以在C. Kenig、林芳华、申仲伟的文章中找到。基于以上文献的成果,我们着力研究了椭圆算子在均匀化理论中的Dirichlet边值问题以及Neumann边值问题。我们得到了一系列的研究成果：W1,p估计、Holder估计、Lipschitz估计、非切向极大函数估计(针对Dirichlet问题),以及在各种范数意义下收敛速率方面的结果。这里需要强调是,我们并非重复紧方法、以及最近由S. Armstrong和申仲伟所发展的新方法。而是充分利用只有主部项算子的研究成果,来给出相应的估计,这里的变换是由Dirichlet边界矫正子以及Neumann边界矫正子充当的,他们是所构造问题的解。这里使用了变换的思想,能在很大程度上简化问题的研究。最后,我们仍然需要指出的是,带低阶项算子的研究,并非是直接的推广,而是有其本身的困难和意义。比如,上面算子的一个特例就是：我们看到即使是Laplace算子,当ε趋于零时,需要系数特殊的性质(周期性),才能做些估计出来,其中W就被称为快速震动位势项,这也是我们这篇学位论文研究的原始模型。
[Abstract]:In this paper, the uniform regularity and convergence rate of general elliptic operators in homogenization problems are studied. The progress of this study is based on the following three aspects. First, in the late 1980s, M. Avellaneda and Lin Fanghua published a series of papers, which systematically studied the uniform Holder estimate and Lp estimate (1p 鈭，

本文编号：2369940