对流占优扩散方程的定制有限点法研究
发布时间：2020-03-23 20:07
【摘要】：传统的微分方程数值解方法在求解对流占优问题时,常常会产生数值震荡或数值扩散现象。针对对流占优问题引起的数值不稳定现象,本文提出了定制有限点法(Tailored finite point method,简记为TFPM)用于数值求解变系数的奇异摄动对流扩散方程。定制有限点法的算法格式基于所求解问题的解在各离散点的局部性质所“量身”构建,是求解奇异摄动问题的一种有效的高精度算法。对于时间分数阶变系数对流占优扩散方程,经典有限差分法在对流占优情况下容易产生非物理震荡,而采用定制有限点法处理空间项,能够有效的避免由扩散系数过小引起的数值震荡现象.本文主要研究工作有以下几个方面:首先,介绍了定制有限点法的基本原理和研究进展史,以及分数阶微分算子的定义与基本性质和分数阶导数的数值逼近;同时,还介绍了对流扩散方程和时间分数阶对流扩散方程的研究背景及研究现状。其次,针对一维、二维的对流占优扩散方程与时间分数阶对流占优扩散方程,分别构造了定制有限点数值算法:针对一维非稳态对流扩散方程,分别介绍了显式TFPM格式、隐式TFPM格式和基于指数变换方程的TFPM算法;针对时间分数阶对流扩散方程,分别介绍了基于G-L逼近与L1逼近的TFPM离散格式:深入讨论了数值模拟结果与空间步长和时间步长之间的关系,分析了算法的收敛阶,进而将数值模拟误差结果分别与有限差分法、特征有限差分法进行比较,充分证明了本文方法的高效性。最后,通过理论分析,讨论了本文算法的稳定性。针对一维、二维的时间分数阶对流扩散方程,分别讨论了基于G-L逼近与L1逼近的TFPM离散格式的稳定性。从理论上分析了算法的可行性和有效性。
【图文】：
Ｆｉｇ．邋１－１邋Ｔｈｅ邋ｃｈａｎｇｅｓ邋ｏｆ邋ｐｈｙｓｉｃａｌ邋ｑｕａｎｔｉｔｙ邋ｉｎ邋ｌｉｍｉｔｅｄ邋ｒｅｇｉｏｎ邋Ｄ逡逑物理量ｐ在有限区域Ｄ内，对流过程产生的变化主要是通过流动时间和流动位置的变化两逡逑方面来控制。对于图１－１，在区域Ｄ中的对流过程，物理量ｐ的变化的可用积分表示为：逡逑ｄ．５６）逡逑其中是流体速度在边界上的法向量。由Ｇｒｅｅｎ公式必0＿ｖ（押＞ｉＤ，有逡逑ｓ逦Ｄ逡逑＝ｌ邋Ｌ邋＾邋＋逦（！－５７）逡逑物理量ｐ在区域Ｄ内的扩散过程中所产生的变化的主要是由流体中的分子的自由扩逡逑散和湍流的扩散运动所引起的，故ｐ量的变化是由氋向低的方向趋势。设ｐ扩散运动的速逡逑度为根据物理学中的第一邋Ｆｉｃｋ定律，可以得到速度ｇ和物理量＾之间的数学关系表达逡逑式：ｇ邋＝邋，其中Ｚ是扩散系数。因此，有限区域Ｚ）内ｐ增量可表示为逡逑ｊｎｑｄＳ邋＝邋ｊｎ邋■邋ＫＡ（ｐｄＳ邋＝邋｜Ｊｄｉｖ（ＫＶ（ｐ）ｄＤ．逦（１．５８）逡逑此外，物理量ｐ的变化还存在于流动过程中的源（或汇）。设ｇ表示源（或汇）的强逡逑度，且０＞0表示源，０＜0表示汇，｜０｜的大小反映了ｐ递增或递减的速度。记物理量ｐ的逡逑增加量为］］以？。根据物质的质量守恒定律，ｐ的变化满足下式：逡逑Ｄ逡逑ＪＪ邋［＾－邋＋邋ｄｉｖ（（ｐｕ）］ｄＤ邋＝邋＼＼邋ｄｉｖ｛ＫＶ（ｐ）ｄＤ＋＼＾ＱｄＤ．逦（１．５９）逡逑由于区域Ｄ选取的任意性
ｕｔ－ｅｕｐｘ，ｙ，ｕｘｑｘ，ｙ，ｕｙ邋＝ｘ，ｙ，，ｘ，ｙｅ．，，逡逑＜邋ｕ｛ｘ，ｙ，Ｑ＞）邋＝邋ｊｕ０（ｔ），逦（ｘ，＾）ｅＱ，ｕ｛ｘ，ｙ，ｔ＾邋＝邋／／，邋（ｆ），，逦ｅ邋ｄＱ，ｔ邋＞邋０．逡逑：Ｑ邋＝逦Ｉｘｆｈ，八；］是有界区域，ＳＤ是光滑边界，ｌ；逦矣０，《（ｕ，ｆ）矣０是连续函数。逡逑均匀地剖分网格，取空间步长时间步长ｒ，节点记邋ｙｊ邋＝邋Ｋ邋￣邋ｍ＇＞逦ＮＸ，邋０邋＜邋ｙ邋＜邋ＮＹ，邋０＜ｎ＜邋ＮＴ．｛0邋（ｘ；，Ａ，，？），０邋Ｗ洰，０邋＜逦洰，０邋ＳN辖小ｅ义希玻铄义嫌龋剑绣澹ㄐ那扇耍缅澹健叮ǎ耍剑澹ǎ浚控埃靠尚次义希酰簦螅粒蹂澹澹穑欤辏眨澹澹瘢欤辏眨澹藉危停ǎ睿洌蓿矗欤史匠蹋ǎ玻担担┛杀浠晃义希觯簦澹粒鲥澹澹穑欤辏郑瘢欤辏郑澹藉澹埃谌缤迹玻的０澹裆瞎乖炖肷⒏袷藉义
本文编号：2597201
【图文】：
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