几类非线性偏微分方程对称和守恒律研究

发布时间：2020-03-25 17:09

【摘要】：近几十年,非线性模型已经贯穿到了多个领域,比如物理中的流体力学、经济领域中的期权定价、力学中的神经传导等等,这些非线性模型都可以用一个或几个非线性微分方程来刻画描述。所以非线性微分方程的求解问题引起了各个领域中学者们的广泛关注。本文利用对称、守恒律理论、幂级数法和相容的Riccati展开法得到了两类非线性偏微分方程的精确解或解析解。第一章介绍了微分方程中的李群理论、守恒律以及发展背景和当前的研究进展。第二章,首先分类研究了广义泡沫排液方程所容许的对称群和一维子代数优化系统,然后利用子代数将其约化为常微分方程,还得到不同情况下方程的精确解和解析解。其次,利用乘子方法构造出了广义泡沫排液方程的守恒律;最后,利用相容的Riccati展开法得到了泡沫排液方程的相交解。第三章,利用幂级数法得到了对流Cahn-Hilliard方程的幂级数解,还分析了在不同驱动力下曲面的形态;其次,利用相容的Riccati展开法得到了对流项是线性的对流Cahn-Hilliard方程的精确解,同时画出了其精确解的图像和其演化图像。
【图文】：

ｋ＝0＝0－－ｎ＋２＿ｋＣｊＣｋ＿ｊ邋－ｎｎｃｎ＋ｚ．逡逑所以方程（３－１）的解为逡逑ｕ（ｘ，ｔ）＝邋ｃ０邋ｃｘ｛ｘ邋—邋Ａｔ）邋＋邋ｃ２（ｘ邋—邋Ａｔ）２邋＋邋ｃ３（ｘ邋—邋Ａｔ）３逡逑＋邋Ｓ＂＝0邋（ｎ＋４）（ｎ＋３）（ｎ＋２）（ｎ＋ｌ）＾邋［？邋＋邋以祀逦（３＿７）逡逑＋ｖＳｋ＝0（ｎ邋＋邋１邋－邋ｋ）ｃｋｃｎ＋１＿ｋ邋＋逦＋邋２邋－邋；＇）邋ｃｎ＿ｋＣｊＣｋ＋２＿ｊ逡逑＋３邋ＳＬｏ邋Ｓｙ＝0（ｎ邋＋邋１邋－邋ｆｃ）（ｎ邋＋邋２邋－邋ｆｅ）邋ｃｎ＋２．ｋＣｊＣｋ＿ｊ邋－邋（ｎ邋＋邋ｌ）（ｎ邋＋邋２）ｃｎ＋２］，逡逑若对任意常数ｃ。、Ｃｌ、ｃ２、ｃ３进行赋值后，就得到了（３－７）的确定形式。（３－７）逡逑的收敛性证明在附录Ａ中给出。逡逑３．２．１驱动力下曲面的形态逡逑（３－１）中《是指晶体界面的斜率，将（３－７）截断后并将其积分，就得到了晶体曲逡逑面的函数表达式＝逦晶体曲面是以波的形式生长，在不同的驱动力逡逑下，也就说波的形态不同。为了研究曲面形态，假设波速入＝１，邋Ｙ＝ｌ，（３－７）中逡逑ｃＱ邋＝邋—１，４邋＝邋４邋＝邋１，ｃ３邋＝邋２，同时ｃｎ（？＝４，５，．．．，２１＾ｃｎ＋４的递推公式可得。逡逑１．邋ｖ＜０，驱动力相当于压缩力逡逑ｈ（ｘ）逦ｈ（ｘ）逡逑

第三章对流Ｃａｈｎ－Ｈｉｌｌｉａｒｄ方程逡逑当ｖ＜０，驱动力相当于压缩力，图３－ｌ（ａ）是当ｖ邋＝邋－８时，曲面在不同时刻晶逡逑体曲面的形态。如图３－１所示，到ｔ从０．２０到１．４７时，曲面逐渐衰减，当ｔ＞１．４７逡逑时，曲面不断增长；当ｖ邋＝邋－２时，曲面的演化形态与ｖ邋＝邋—８时相似，当ｔ＞１．７７逡逑时，，曲面开始增长。逡逑３０逦＞逦b濆义希垮危诲危玻板危礤义希劐危垮危诲

本文编号：2600167