非线性微分系统的非局域对称及相互作用解的符号计算研究

发布时间：2020-03-27 02:08

【摘要】：非线性系统在许多研究领域中都扮演着非常重要的角色,其研究意义不仅局限于数学物理领域,还充分体现在现代科学的工程应用中.非线性微分系统常被用来刻画自然界的各种现象,是描述自然现象的主要数学模型.非线性微分系统的对称性和精确解的研究有助于理解自然界物质的运动规律,对相应物理现象的科学解释和实际应用起到了至关重要的作用.在非线性微分系统的对称性分析、精确解的构造等问题中经常会遇到复杂的符号推理和计算,这些工作往往手工难以完成.近年来,高性能计算机的迅猛发展及其广泛应用极大地推动了非线性系统的符号计算处理,提高了人们对非线性系统的研究水平.基于符号的计算机处理方式已经成为解决非线性问题极其有力的工具.本文以符号计算系统Maple为平台,开展了非线性微分系统对称性以及相互作用解的符号计算研究,主要包括以下两方面工作.第一部分围绕对称的基本理论,研究了非线性微分系统的对称性,对非局域对称以及对称变换在构造非线性微分系统精确解中的应用进行了讨论.通过非线性微分系统截断的Painlevé展开、势函数、伪势函数、Darboux变换、B?cklund变换、递推算子等方式都可以构造相应的非局域对称.非局域对称不同于经典的Lie点对称,它的无穷小变量依赖于全局行为,涉及到了因变量的积分形式.有些非局域对称的延拓并不封闭,因此,需引入新的辅助变量使得非局域对称局域化为延拓系统的Lie点对称.非局域对称丰富了对称方法在非线性系统中的应用,推动了非线性科学的发展.以往人们认为从对称出发构造非线性微分系统的二次及以上对称变换非常困难,本文在文献[1,2]开创性工作的启发下,通过不同途径,从不同角度探讨了非局域对称的相关理论并将这些理论应用于具体的数学物理模型,构造出了多个非线性微分系统的N次对称变换.基于所得的N次对称变换,可直接给出非线性微分系统的N孤子解等.我们将注意力集中在如何寻找给定非线性微分系统的非局域对称以及局域化的过程.首先,通过非线性微分系统截断的Painlevé展开,得到了非局域留数对称.基于Lax对以及守恒律,构造了非线性微分系统的非局域势对称以及伪势对称.其次,通过引入必要的辅助函数,寻找非线性微分系统封闭的延拓系统,将非局域对称局域化,即把低维空间的非局域对称等价到高维空间的Lie点对称.由于Schwarzian方程、Lax对以及守恒律中参数λ的任意性,可进一步利用线性叠加原理构造非线性微分系统的无穷多非局域对称,进而将非线性微分系统的一次对称变换扩展到N次对称变换.基于对称变换,即可构造非线性微分系统不同类型的精确解.第二部分利用相容Riccati方程展开法研究了非线性微分系统相互作用解的算法问题.传统的Riccati方程展开法在构造非线性微分系统精确解的过程中,只能得到一些不同类型的特殊波解,因此,可能会丢失原始系统的一些基本信息.相容Riccati方程展开法推广了传统的Riccati方程展开法,不仅可以构造非线性微分系统不同激发态之间的相互作用解,而且可以用来寻找新的可积系统.相容的Riccati方程展开法将非线性微分系统相互作用解的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题,求解过程中往往会涉及到非常繁复的计算.本文结合吴消元法以及相容的Riccati方程展开法,在计算机符号系统Maple上开发了自动求解非线性微分系统相互作用解的软件包CRE.该软件包适用范围较为广泛,对方程或双耦合方程组的维数没有限制,可以在较短的时间内自动推导出非线性微分系统可能的相互作用解,并输出相应的参数约束条件.
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

【参考文献】