径向基函数局部化方法和低差异度序列在求解倒向随机微分方程中的应用

发布时间：2020-04-13 00:36

【摘要】：倒向随机微分方程在许多领域中有着重要的理论和应用价值.然而,能够显式求解的倒向随机微分方程很少,因此高效求解倒向随机微分方程的算法研究显得十分重要.经过不懈地努力,现在我们已经可以实现高精度数值求解一般倒向随机微分方程.根据倒向随机微分方程本身结构特征和Ito随机积分理论,并结合科学计算方法,积分离散法θ格式[46]可以高效地求解倒向随机微分方程.在金融领域的实际应用中,我们往往需要使用多维的倒向随机微分方程解决问题.由于多维问题本身的特点,许多数值求解高维倒向随机微分方程的方法会变得非常复杂,导致计算非常耗时;有的方法甚至无法利用现有技术实现.基于积分离散法θ格式,本文尝试对一般多维倒向随机微分方程进行数值求解.低差异度序列经常在拟蒙特卡洛方法中作为积分点使用.根据点集的差异度分析理论,相比随机点集和通过张量积生成的规则网格,其均匀性更好.由于多项式函数插值在多维空间中并不总是存在唯一的,而且全局支撑径向基函数存在条件正定和形状参数ε选值困难的问题,因此本文引入紧支撑正定径向基函数进行插值估计以解决上述问题.本文在第一章对数值求解倒向随机微分方程的算法,低差异度序列和径向基函数局部化方法进行文献综述;第二章简要介绍了一些相关的Ito随机积分结论和倒向随机微分方程性质结论;第三章分析了 θ格式的理论框架和结果,并针对条件期望的估计等求解技巧进行讨论;第四章首先介绍了点集的差异度分析理论,并提出使用低差异度点集代替规则网格作为网格点,然后引入了紧支撑正定径向基函数局部化插值方法并阐述了其必要性和重要性,最后结合低差异度序列和径向基函数局部化方法对插值问题进行了一系列数值实验;第五章展示了使用本文方法求解一维和二维倒向随机微分方程的数值实验结果并进行分析;第六章是本文的总结.基于之前的研究工作,本文的亮点主要有以下几个方面:1.根据低差异度点集的均匀性质,本文提出将低差异度点集作为网格点而不再是积分点使用.在多维空间中,相比经常使用的规则网格点,低差异度点集能够在一定程度上减少空间网格点数量;2.针对多维空间插值方法,本文引入紧支撑正定径向基函数插值.注意到在具体求解中可利用的数据点可能有成千上万个,本文进一步引入局部化方法,仅利用待估计点附近的网格点数据进行估计,从而提高了计算效率.通过一系列数值实验,本文对基于低差异度序列的径向基函数局部化方法进行了讨论,并通过对比三次样条插值的误差结果,得到了如何较好地设置方法细节的结论.在具体求解多维倒向随机微分方程之前,本文对如何控制误差的问题进行了一些讨论,提出先对终端条件进行插值试验以确定空间网格点数量的方法.数值实验表明,利用θ格式,基于低差异度点集的径向基函数局部化方法可以比较有效地求解倒向随机微分方程.
【学位授予单位】：山东大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.63

【参考文献】