随机微分方程的几种保结构算法

发布时间：2020-04-13 01:23

【摘要】：随机微分方程广泛应用于模拟物理学、经济学、生物学等诸多领域中的现象。因为大部分的随机微分方程都无法求出其真解,对于随机微分方程数值方法的研究近些年来扮演着越来越重要的角色。通常,能够保持原系统的内在性质,比如几何性质、物理性质等的数值方法,称之为保结构方法。保结构方法因其良好的性质,尤其是在长时间数值模拟中的优势,得到了学者们的极大关注。因为守恒量和辛性是两个最重要的系统内在性质,本文主要致力于构造能够保持一些随机微分方程守恒量或辛性的数值方法。主要工作如下:考虑了具有守恒量的随机微分方程。基于斜梯度形式构造了一类离散梯度方法,分析了该方法达到均方收敛阶1的充分条件。然后,构造了一类线性投影方法。证明了所构造的两类方法之间的关系,即,线性投影方法可以看作是离散梯度方法的一个子集。应用数值实验验证了理论结果,并说明了所构造方法的有效性。考虑了具有守恒量的分块随机微分方程。构造了一个随机分块平均向量场方法并进行了分析。证明了该方法可以自动保持原系统的守恒量。详细地进行了收敛性分析,得出了该方法的均方收敛阶是1.数值实验检验了方法的有效性。考虑了两类单一积分函数型的随机微分方程。第一类情形,研究了随机正则Hamilton系统的任意高阶保能量方法。通过W变换得到了一类含参数的随机Runge Kutta方法,并应用截断随机变量替换了Wiener增量。证明了此替换在某些条件下不会改变方法的收敛阶,并且,该方法对于任意确定的参数均为保辛的。分析了每一步都存在一个适当的参数使得能量守恒成立,而且,该能量守恒的方法保持原随机Gauss Runge Kutta方法的收敛阶。数值实验表明了该保能量方法求解随机正则Hamilton系统的有效性。第二类情形,研究了随机Poisson系统的任意高阶保能量方法。基于扰动配置方法,构造了一类求解随机Poisson系统的显式含参数随机Runge Kutta方法。类似于第一类情形,证明了每一步都存在一个适当的参数使得能量守恒成立,而且,该能量守恒的方法保持原随机Runge Kutta方法的收敛阶。数值实验显示了方法的有效性以及得到的收敛阶结果。提出了一种构造辛随机分块Runge Kutta方法的新颖有效的途径。构造了一类求解分块随机微分方程的连续级值随机分块Runge Kutta方法。通过随机B级数理论,得到了连续级值随机分块Runge Kutta方法的阶条件。应用连续级值随机分块Runge Kutta方法求解随机Hamilton系统,得到了连续级值随机分块Runge Kutta方法的辛条件。证明了对于保辛的连续级值随机分块Runge Kutta方法,使用任一求积公式都会导出一个保辛的随机分块Runge Kutta方法。通过这种途径,选取不同的求积公式即可方便地得到不同的辛随机分块Runge Kutta方法。依据辛条件和阶条件,构造了一个具体的收敛阶为1的辛连续级值随机分块Runge Kutta方法,并应用几个求积公式得到了几个辛随机分块Runge Kutta方法。数值实验验证了理论结果,表明了方法的有效性。
【学位授予单位】：哈尔滨工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.63

【参考文献】