几类非线性发展方程的耗散和色散机制研究

发布时间：2020-04-18 22:02

【摘要】：耗散和色散是出现在非线性发展方程中的两种完全不同的机制,这两种机制对非线性发展方程解的适定性和性态的研究有着重要的作用.本文将通过对几类非线性发展方程的耗散或色散机制的研究,来建立其解的适定性和长时间行为.具体地讲,首先分析了两类流体方程的耗散机制,注意到耗散在L2框架下带来的能量损耗,针对满足Cattaneo热传导律的磁流体方程,我们应用能量方法得到了三维Cauchy问题解的适定性和松弛极限,该结果揭示了满足Cattaneo热传导律的磁流体方程和满足Fourier热传导律的磁流体方程之间的关系.针对一类非牛顿流方程,我们应用能量方法得到了二维初边值问题解的拉回动力学行为-拉回指数吸引子的存在性,此结果揭示了一类具有指数吸引速度和有限分形维数的拉回吸引子的存在性.然后分析了一类双色散方程的色散机制,针对一类双色散方程,注意到色散在L∞框架下带来的时间衰减,我们应用Green函数的方法得到了在任意有限维时Cauchy问题解的整体适定性和长时间行为,该结果显示此双色散方程解的衰减比对应单色散方程解的衰减要慢.最后分析了带阻尼的Boussinesq方程的耗散和色散耦合机制,针对带阻尼的Boussinesq方程,注意到同时存在耗散和色散机制而且二者在L∞框架下同时带来时间衰减,我们应用Green函数的方法得到了在高维时Cauchy问题解的整体适定性和长时间行为以及粘性极限,此结果显示当同时考虑耗散和色散时,方程解的衰减会比单一考虑耗散或色散时衰减要快,当考虑耗散渐近消失时,方程的解会逼近Boussinesq方程的解.具体内容概括如下:第一章,我们将主要介绍所研究的几类非线性发展方程的物理背景,研究现状和研究内容以及一些预备知识.第二章,我们将研究两类流体方程的耗散机制.本章共分为两大部分.在第一部分中,考虑满足Cattaneo热传导律的磁流体方程的三维Cauchy问题,证明了大初值时解的局部适定性和小初值时解的整体适定性以及松弛极限.在第二部分中,考虑一类非牛顿流方程的二维初边值问题,证明了大初值时解的拉回指数吸引子的存在性.第三章,我们将研究一类双色散方程的色散机制.考虑一类双色散方程在任意有限维时的Cauchy问题,证明了小初值时解的整体适定性和长时间行为以及散射.第四章,我们将研究带阻尼的Boussinesq方程的耗散色散耦合机制.考虑带阻尼的Boussinesq方程的高维Cauchy问题,证明了小初值时解的整体适定性和长时间行为以及粘性消失极限.
【学位授予单位】：上海交通大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175.2

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本文编号：2632584