边界元法几类奇异性问题研究

发布时间：2020-04-25 20:03

【摘要】：随着计算机技术的飞速发展,CAE分析在工程领域中得到了广泛的应用。在CAE分析技术中,存在两种主要的数值算法:有限元法和边界元法。有限元法作为一种工程方法,在机械行业中应用最为广泛,但是它存在着一些固有缺陷。边界元法是一种半解析的方法,具有应力精度高和降维的优点,因此在处理奇异性问题时具有天然的优势。边界元法的基础是边界积分方程。本文研究的奇异性问题包括两个方面:(1)边界积分方程中本身存在的奇异性,包括类奇异域积分、强奇异以及超奇异积分;(2)边界元法求解存在应力奇异性的具体问题,包括裂纹问题和V形切口问题。边界积分方程中的基本解具有奇异性,它给边界元法的应用带来了一些困难。但正是基本解的奇异性保证了边界元法数值分析的稳定性。因此,正确处理边界积分方程中基本解的奇异性非常重要。本文首先提出了类奇异域积分的解决方案。然后使用局部坐标近似展开的方法处理强奇异和超奇异积分。最后应用边界元法求解裂纹问题和V形切口问题。本文的主要工作和研究成果如下:(1)提出了二维和三维类奇异域积分解决方案。拟初始条件法求解瞬态热传导问题时,需要计算含时域基本解的域积分。本文首先分析了时域基本解的特性,即当时间步长很小时,含时域基本解的域积分具有类似于奇异积分的性质。然后分别采用极坐标变换、(α,β)变换和Sinh变换等非线性变换来处理二维类奇异域积分,发现(α,β)变换的效果最好。最后确定了二维和三维类奇异域积分解决方案,即对于二维问题,采用(α,β)变换结合单元细分的方案;对于三维问题,采用(α,β,γ)变换结合体单元细分的方案,并且通过引入最近点的概念,解决了源点位于单元外部时的问题。(2)应用双层插值边界元法计算了二维裂纹的应力强度因子以及模拟裂纹扩展。本文首先采用局部坐标近似展开的方法来计算强奇异积分和超奇异积分。然后推导了基于双层插值边界元法的裂尖奇异单元形函数。最后使用张开位移计算应力强度因子,以最大周向应力准则确定裂纹扩展方向,采用帕里斯公式计算裂纹扩展速率,最终模拟了单边斜裂纹和双边裂纹的扩展路径。数值算例表明,在相同源点数量的情况下,使用双层插值边界元法计算得到的应力强度因子精度比传统边界元法高。(3)针对顶点奇异性,提出了奇异点单元,并且采用双边界元法与奇异点单元结合的方法计算了三维裂纹的应力强度因子。本文首先介绍了双边界元法的基本思路,推导了间断位移法的边界积分方程。然后分析了顶点奇异性的阶次,得出在绝大多数情况下,顶点奇异性的阶次接近-0.5的结论。基于这一结论,推导了奇异点单元的形函数。最后采用双边界元法与奇异点单元结合的方法计算了三维穿透型裂纹的应力强度因子。数值算例表明,应用奇异点单元,自由面上的位移场能够被更精确地模拟,从而不需要在奇异点附近布置很密的网格。(4)通过分析V形切口的应力奇异性阶次,提出了针对V形切口的新型奇异单元。V形切口问题不同于裂纹问题,它的应力具有多重奇异性,并且随切口角变化。通过分析第一阶和第二阶特征值随切口角的变化情况,发现应力奇异性主要由第一阶特征值决定,尤其是对于切口角较大的情况。基于这一特性,提出了针对V形切口的新型奇异单元。奇异单元能够更加精确地模拟切口附近的位移场,从而计算出更高精度的应力强度因子。
【图文】：

刚架,连接模型

基于边界元法的如梁单元、杆单元、板单元、壳单元等单元模拟，离散后的计算模型与实际结如图 1.2 所示板与块体连接模型，由于由度，处理它们之间的连接又要引入新的而该处应力是决定结构是否破坏的关键必须使用大量的单元和节点才能保证计

连接模型,块体,边界元法

2图 1.2 板与块体连接模型对等效积分方程分部积分两次后得到的，它对场是边界元法对有限元法最大的优势。边界元法的是满足控制方程的。因此，边界元法是一种半解位移和面力处于同等位置，即应力和位移具有同分求解过程都不需要域内网格，因此它具有降维为它没有连续性要求，所以得到域内网格比有限势的存在，，边界元法得到了很多研究者的青睐，许多新的算法。利用边界表征数据结构和边界积分方程结合，AD/CAE 一体化。为了充分发挥边界元法中网格
【学位授予单位】：湖南大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.83

【参考文献】