基于分析算子的稀疏恢复模型及其应用

发布时间：2020-05-02 18:26

【摘要】：近十年来,压缩感知一直是应用数学领域的热门研究方向。它作为一种新的采样理论,通过开发信号的稀疏性,在远小于Nyquist采样率的条件下,用随机采样获取信号的离散样本,然后通过非线性重构算法完美重建信号。压缩感知理论一经提出,就引起学术界和工业界的广泛关注。它在信息论、图像处理、地球科学、光学、模式识别、无线通信等领域受到高度关注,并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。此外,Donoho在2017年Notices of the AMS中指出,FDA(美国食品药品监督管理局)证实压缩感知理论已落实到核磁共振实际产品开发中,大大加快了检测速度。经典压缩感知适用于标准基或正交基表示下的稀疏恢复问题。然而在许多实际应用中,信号可能在某个冗余字典或某些变换下呈现稀疏性,例如雷达信号在Gabor框架下具有稀疏性,自然图像在差分算子或离散小波框架下近似稀疏。利用l1分析模型,本文将在如下几个方面展开研究:第三章中,我们引入关于冗余框架D的约束特征根条件(简称D-RE)。该条件是标准压缩感知中RE条件的推广。我们证明D-RE条件为分析型LASSO模型(ALASSO)和分析型DantzigSelector模型(ADS)l2稳定误差的最弱条件之一。此外,我们列举了满足D-RE条件的一系列相关随机矩阵,如相关性subGaussian矩阵,部分随机基系统等。当涉及非稀疏信号时,我们证明相关性Gaussian矩阵满足鲁棒性l2-D零空间条件。类似的,通过鲁棒性l2-D零空间条件,我们给出ALASSO模型和ADS模型关于非稀疏信号的l2稳定恢复误差估计。第四章中,我们讨论基于融合框架表示的信号恢复问题。融合框架是多个子空间组合而成的系统,具有更好的灵活性,因此被应用于分布式处理、并行处理以及数据包编码等领域。这里讨论的测量矩阵满足非相关性和各向同性性,包括subGaussian随机矩阵和部分随机Fourier矩阵。基于这样的测量机制,我们证明通过FLASSO模型(4-8)和FDS模型(4-9)能稳定恢复在融合框架表示下的稀疏信号。所需的测量次数随着融合框架系统子空间之间相关性系数λ的减小而减少。第五章中,我们看到常用的聚类方法k-means方法可等价描述为l0最小化问题。而其凸松弛模型可转化为一类基于TV分析算子的l1优化问题。但是理论上对凸聚类模型精确恢复各类元素的充分性条件分析很少,和其他模型的理论结果相比也有很大的局限性。第五章主要涉及加权的l1凸松弛模型的理论分析,得到精确恢复各类的充分性条件,该条件比历史文献结果更优。此外,该模型在概率模型生成的数据和实际数据中,都能有很好的应用。
【图文】：

均匀分布,混合高斯模型,算法

逦０逡逑产生；另一类（红色点）共２５邋０个点，这些点从极坐标中生成，半径服从高斯分布＃（邋５，０．２５２）逡逑且福角服从均匀分布Ｗ（０，２７ｒ）。详见图５－３（ａ）。在文献［１０７］中指出，Ａ；－ｍｅａｎｓ算法不能很好逡逑恢复此类数据。逡逑由于Ａ＞ｍｅａｎｓ方法对初始值选取的敏感性强，所以针对々－ｍｅａｎｓ算法，我们随机选取逡逑１００个初始值并对最终结果求平均值和标准差（ＳＤ）。表格５－丨为三种方法的Ｒａｎｄ邋ｉｎｄｅｘ值比逡逑较，图５－３为恢复有效性的直观图例。由此看到，模型（５－１４）比两个ｈｍｅａｎｓ算法效果更逡逑好。逡逑５．３．２真实数据实验逡逑在本节中，我们比较不同方法对真实数据集的实验效果。比较的方法包括两种ｔｍｅａｎｓ逡逑算法：（１）邋Ｌｌｏｙｄ’Ａ＞ｍｅａｎｓ邋算法；（２）邋ｆｃ－ｍｅａｎｓ＋＋算法；和两种分层算法：（３）邋ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ逡逑ｓｉｎｇｌｅ邋ｌｉｎｋａｇｅ邋算法（ＨＣ（Ｓｉｎ））；邋（４）邋ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ邋ａｖｅｒａｇｅ邋ｌｉｎｋａｇｅ邋算法（ＨＣ（Ａｖｅ））。模型（５－１４）逡逑和两种ｌｉｎｋａｇｅ方法结果通过一次实验得到，两种Ａ＞ｍｅａｎｓ算法结果通过取丨００次实验的平逡逑均值得到（每次实验选取由１０次随机产生初始值得到的最高Ｒａｎｋ邋Ｉｎｄｅｘ值）。逡逑数据集的选取，我们取ＵＣ丨机器学习数据库［７７，８６］。逡逑１．”丨ｒｉｓ”：邋一个经典的Ｒ４中的分类数据集，包含３类数据，每类代表一种ｉｒｉｓ植物且有逡逑５０个样本点。逡逑７６逡逑

数据集,有效性比,比较值,非凸

图５－４不同方法的Ｒａｎｄ邋ｉｎｄｅｘｅｓ比较值：”ｉｒｉｓ”数据集和“ＡＲ邋ｆａｃｅ”数据集
【学位授予单位】：浙江大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O151.2

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