基于单纯形算法的奇异摄动问题的数值模拟

发布时间：2020-05-04 19:56

【摘要】：奇异摄动问题广泛存在于许多工程领域中,这类问题对应的微分方程的最高阶导数项含有小参数ε.近年来,层适应网格方法被广泛的应用到各类奇异摄动反应扩散方程的数值求解,最常见的是Shishkin网格,同时,谱配点法作为数值求解微分方程的高精度的数值方法,也越来越受学者的关注.但是,目前几乎所有文献都是人为地选择Shishkin网格参数和边界层宽度的相关参数.因此,本文主要基于单纯形算法,研究奇异摄动问题的数值方法中的网格参数优化,具体内容如下:第一章为综述部分,介绍了奇异摄动问题的层适应网格方法和有理谱配点法的研究现状以及本论文的结构安排及主要工作.第二章为预备知识,主要介绍了重心有理插值、微分矩阵以及Nelder-Mead单纯形算法.在第三章中,研究了一类奇异摄动问题时间独立的反应扩散方程的半离散方法,首先,分别构造了这类问题在空间方向和时间方向的迎风差分格式,其次,给出了稳定性分析,然后,为了得到更好的Shishkin网格参数,设计了一个以误差最小为目标函数的无约束的非线性优化问题,并给出求解该优化问题的单纯形算法,最后用数值算例证明了算法的有效性.在第四章中,研究了奇异摄动对流扩散问题的单纯形算法,首先给出带sinh变换的重心有理谱配点法对本章中我们所考虑的问题进行离散,然后构造以绝对误差范数最小为目标的无约束优化问题,进而用单纯形算法求解该优化问题,得到最优边界层宽度相关参数以及问题的数值解,最后用数值算例证明算法的有效性.在第五章中,研究了基于单纯形算法的二维奇异摄动对流扩散方程的数值模拟,首先用有限差分法对我们所考虑的问题进行离散,然后构造以误差范数最小为目标的无约束优化问题,并利用单纯形算法对该优化问题进行求解,最后在最优的Shishkin网格下,利用有限差分法得到问题的数值解,并分别给出数值算例来验证本章提出的算法的有效性.
【学位授予单位】：广西师范学院
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.82

【参考文献】

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本文编号：2648909