倒向随机微分方程的若干问题研究

发布时间：2020-05-04 20:33

【摘要】：倒向随机微分方程(简记为BSDE)已经发展成为概率论的一个重要研究领域,其与金融学,随机控制与偏微分方程等领域的许多问题存在着重要的联系.本文系统地研究了BSDE的三个方面的问题,具体如下:第一方面,本文建立了一致连续条件下F-期望与F-估价的表示定理.2000年,Coquet et al.~([79])在一种Lipschitz型控制条件下证明了任何F期望可以表示成为g-期望.这意味着满足该控制条件的任何资产定价与风险度量方法可以通过求解BSDE来实现.Peng~([82])进一步提出如下问题:是否g-期望与g-估价可以表示所有具有足够正则性的F-期望与F-估价?本文进一步回答了此问题.我们提出了一种一致连续型控制,并在此控制条件下证明了任何F-期望与F-估价都是g-期望与g-估价.从而极大扩展了F-期望与F-估价可以表示为g-期望与g-估价的范围.具体来讲,我们的表示定理指出在一致连续控制条件下,任何F-期望与F-估价都是生成元满足某种一致连续性条件的BSDE的解.本文的研究克服了由于缺乏Lipschitz连续所带来的困难,其中关于有界性的讨论与局部化方法发挥了重要的作用.第二方面,本文建立了二次增长BSDE生成元的表示定理以及反射倒向随机微分方程(简记为RBSDE)生成元的局部表示定理.生成元的表示定理在BSDE的性质与非线性期望的研究中发挥着重要的作用,我们首先在生成元关于z二次增长的条件下获得了此定理,其中一种情形是生成元关于y线性增长,另外一种情形是生成元关于y单调且凸增长.并且应用其研究了二次增长g-期望的性质,这些性质推广了文献[66]中的若干结果.其次,为了研究一般情形下RBSDE的性质,我们进一步将BSDE生成元的表示定理推广到了RBSDE的情形,在生成元关于(y,z)线性增长的条件下,获得了RBSDE生成元的局部表示定理.与BSDE的情况相比,我们的结果主要存在两点不同,一是此定理中包含了RBSDE的解K,二是此定理是建立在局部空间上的.利用此表示定理,我们获得RBSDE的一个一般的逆比较定理.第三方面,本文引入了一类新的BSDE,称之为泛函BSDE,其生成元不仅依赖其解当前时刻的取值,还同时依赖于其过去与未来的取值.此类BSDE从形式上可以看作是Peng和Yang~([34])引入的超前BSDE与Delong和Imkeller~([41])引入的延迟BSDE的一种推广.具体来讲,本文中泛函BSDE的生成元g(t,·,·)依赖于其解在[t-l,t+u]的上的取值,其中l≥0与u≥0分别是延迟时间参数与超前时间参数.对于充分小的延迟时间l或者充分小的Lipschitz常数,本文证明了泛函BSDE解的存在唯一性.此结果不依赖于终端时间T,这不同于文献[41]的结果.进一步,作为泛函BSDE的一种伴随方程,我们引入了一类新的泛函SDE,其系数b(t,·)与σ(t,·)依赖于其解在[t-l,t+u]上的取值,其中l≥0与u≥0分别是延迟时间参数与超前时间参数.此类泛函SDE从形式上推广了经典的延迟SDE(见文献[5])以及最近由Chen和Huang~([95])引入的超前SDE.对于充分小的超前时间u或者充分小的Lipschitz常数,我们证明了其解的存在唯一性.同时,建立了此类泛函BSDE与泛函SDE的比较定理与解的连续依赖性,并给出了这两类方程之间的一种对偶关系.
【学位授予单位】：北京工业大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O211.63

【参考文献】