具有多项式非线性项的四阶常微分方程的数值解法

发布时间：2020-05-13 13:14

【摘要】：本文主要研究常系数和变系数非线性四阶常微分方程多解计算的数值方法。主要包括关于微分方程的特征函数展开离散化方法和关于离散化方程组的同伦延拓法。在第一部分中,我们对四阶常微分方程采用特征函数展开法进行离散,并分别得到关于离散误差的H1-范数估计和L2-范数估计。我们用数值算例验证特征函数展开法的收敛速度。在第二部分中,我们从数值上寻找具立方非线性的四阶常微分方程的多解。对于用特征函数展开法得到的离散化方程组,我们构造了快速求其全部解的多项式同伦。此种同伦方法的思想是逐次求解自由度逐渐增加的离散化多项式方程组,前一步的解代入后一步的初始方程组,然后只需求解最后一个多项式即可得到后一步初始方程组的全部解,然后再用路径跟踪求得后一步目标方程组的全部解,由此形成一个递归过程来求最细离散水平上方程组的全部解。我们提出有限差分过滤子和牛顿过滤子以剔除离散化方程组解集中可能出现的伪解。这些过滤子基于误差估计。我们用数值例子验证所提同伦方法的效率。最后,我们提出求解变系数的三次和五次非线性四阶常微分方程的对称同伦方法。对特征函数展开离散化方程组,我们分析离散化多项式方程组解集的对称性。基于这种对称性,我们选取简单的四阶常微分方程作为初始问题,并将其在特征子空间中离散。此种离散化子方程组很容易求解。然后,我们将这些子方程组按块组装作成初始方程组,构造对称同伦,求解目标离散化方程组。由于只需跟踪代表解路径,对称同伦可以节省计算量。我们应用牛顿过滤子以剔除可能的伪解。数值实验表明,所构造的对称同伦是高效的。
【学位授予单位】：大连理工大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O241.81

【参考文献】

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本文编号：2662016