若干肿瘤入侵奇异摄动模型的行波解

发布时间：2020-05-14 15:23

【摘要】：本文利用几何奇异摄动理论和鸭理论等,研究若干由反应-扩散-对流方程描述肿瘤入侵的奇异摄动模型行波解的存在性.主要思路如下:首先,通过行波变换,将偏微分方程化为奇异摄动常微分方程组;接着,通过构造常微分系统异宿轨的办法来获得偏微分方程波前解的存在性及其对应的参数条件.论文分为三章:第一章为绪论.本章对课题研究的背景、意义和进展进行了综述;同时也简要介绍了几何奇异摄动理论和鸭理论等相关知识及本文的主要工作.第二章引进广义Allee函数来描述肿瘤的生长,给出了一类由反应-扩散-对流方程描述的新的肿瘤入侵模型..广义Allee函数和Allee函数区别在于:前者具有更高次的非线性项.实际上,我们的肿瘤模型可以看作是Allee函数所对应的退化情形(Sewalt等在J.Theoretical Bio.,(394)2016,pp.77-92已经研究了Allee增长的情形).利用几何奇异摄动理论和鸭理论,本章旨在研究非线性高次项—即参数m对模型冲击波解的存在性的影响.研究发现:(1)当次数m ≥ 4时,类型Ⅰ波和Ⅱ波不可能存在,仅当m = 2和3时类型Ⅰ、Ⅱ波才可能存在;(2)折曲线上至多可存在两个(正则系统的)平衡点,一个总是鞍点,而另一个可能是稳定焦点或稳定结点—这完全取决于参数m;(3)当2 ≤ m ≤ 8时,第二个平衡点几乎不可能是结点,而随着m从9开始增大,第二个平衡点“很容易”成为结点.若第二个平衡点是结点,则折曲线上共存在两个”孔”,这导致了几种新的冲击波解的存在.第三章考虑广义Allee增长和竞争效应的结合,建立了新的肿瘤模型.基于第二章的结果,我们旨在研究竞争对广义Allee模型冲击波解的存在性的影响.我们发现:系统在折曲线上也存在两个平衡点,一个总是鞍点,而另一个可能是焦点或结点一一同样取决于m和竞争系数γ.当m=1时,通过计算和相平面分析发现:第二个平衡点几乎不可能是结点,而是不稳定焦点.进一步地控制07γmax,此时可发现模型存在类型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种波解且不唯一一即对于固定的两个平衡点同时有两条以上的异宿轨.当m1时,通过相平面和平衡点的分析可确定其不存在类型Ⅰ波和Ⅱ波,而对于其他波的存在性由于系统为高阶且参数较多的原因没有做具体讨论.第四章是对本文研究工作的总结及展望。
【图文】：

研宄奇异摄动系统的流在折曲线（折流形）上的动力学．通过引入上述有关”孔”的定逡逑义，即折曲线（折流形）上的折鞍点／折结点，Ｓｚｍｏｌｙａｎ和Ｗｅｃｈｓｅｌｂｅｒｇｅｒ等［７’２Ｑ，２３Ｈ正明：逡逑穿过折鞍点／折结点的流是保持的．如图１．３所示：经过折鞍点和折结点（图中红色逡逑的点）的稳定（州￡２）和不稳定流形（Ｈ／＆）是保持0⑷的．这一保持性是发现冲击逡逑波解存在的关键之处．逡逑８逡逑

引理２．２．２．对于０邋＜邋？；邋＜邋１和任意整数ｍ邋＞邋２，若０邋＜邋ｃ邋＜邋ｃ邋＝邋ｃ＋（ｍ），则逡逑折曲线上存在两个平衡点；若ｃ邋＝邋ｃ＋（ｍ），则折曲线上存在一个鞍－结分支平衡点；逡逑若ｃ邋＞邋ｃ＋（ｍ），则折曲线上不存在平衡点，详见图２．１，，这里，逡逑ｃ＋邋＝逦（切＋）ｍ＿§邋—邋（ｍ邋＋邋ｌ）（ｗ＋广—Ｉ）逦（２．２．１５）逡逑0逡逑和逡逑，２ｍ邋—邋３逦．逦．逡逑ｗ＋邋＝邋逦逦ｍ邋＞邋２．逦（２．２．１６）逡逑２ｍ邋—邋１逦—逡逑证明：事实上，方程（２．２．１４）即为逡逑（ｃ２邋＝邋２逡逑＼邋ｗｍ（ｌ邋－ｗ）邋＝逡逑化简得到逡逑ｑ（ｗ）邋＝邋Ｖ２ｗｍ（ｌ邋—邋ｗ）邋—邋ｃｗ＾邋—邋ｓ（ｗ），逦（２．２．１７）逡逑这里０邋＜邋ｔｙ邋＜邋１．若ｉｔ；可以由这个方程解得，那么对应的ｗ值由ｕ邋＝＝邋给出．逡逑分别对ｇ（奶）和《５（yU）关于ｕ；求导并令可得：逡逑ｃ＋（ｍ）邋＝逦＿邋（ｍ邋＋邋ｌ）（ｉｙ＋）ｍ＿２）．逡逑0逡逑将上式代入（２．２．１７），可得逡逑，邋２ｍ邋—邋３逡逑Ｗ邋卞＝邋逦７．逡逑２ｍ邋—邋１逡逑通过描绘９（ｗ）和ｓ（ｗ）的图像，引理２．２．２就可以很容易理解，如图２．１所示．证毕．逡逑
【学位授予单位】：福建师范大学
【学位级别】：硕士
【学位授予年份】：2018
【分类号】：O175

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本文编号：2663555